BZOJ_4176_Lucas的数论_杜教筛+莫比乌斯反演
BZOJ_4176_Lucas的数论_杜教筛+莫比乌斯反演
Description
去年的Lucas非常喜欢数论题,但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。
![](https://www.lydsy.com/JudgeOnline/upload/201507/abc.jpg)
Input
第一行一个整数n。
Output
一行一个整数ans,表示答案模1000000007的值。
Sample Input
Sample Output
HINT
对于100%的数据n <= 10^9。
$f(nm)=\sum\limits_{i|n}\sum\limits_{j|m}[gcd(i,j)=1]$
证明:首先$ij|nm$,但直接枚举$ij$会有些重复。
设$gcd(i,j)=k,a=i/k,b=j/k$
发现一定能枚举到$i'=a*k,j'=b,$和$i''=a,j''=b*k$,此时$gcd(i',j')=gcd(i'',j'')=1$。
考虑$a*b*k$这个约数其实是被枚举了两次,不妨用这两次中的一个来‘代表’$a*b*k*k$。
因此我们枚举$gcd(i,j)=1$的$i,j$即可,只是此时$ij$可能有相等的,他们代表的约数不同。
可以举$n=2,m=6$的例子自己手算一下。
$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}f(ij)
=
\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum
\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[gcd(x,y)=1]$
$=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum
\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}\sum\limits_{d|gcd(x,y)}\mu(d)$
$=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}\sum
\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}\sum\limits_{d|gcd(x,y)}\mu(d)$
$=\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d)\sum\limits_{i=1}^{n/d}\sum\limits_{j=1}^{n/d}\sum
\limits_{x=1}^{\frac{n/d}{i}}\sum\limits_{y=1}^{\frac{n/d}{j}}$
$=\sum\limits_{d=1}^{n}\mu(d)(\sum\limits_{i=1}^{n/d}\frac{n/d}{i})^{2}$
$\mu$的前缀和用杜教筛搞,后面的只有$\sqrt{n/d}$种取值。
代码:
#include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <map> using namespace std; typedef long long ll; ll mod=1000000007; map<ll,ll>f; int m=1000000; int prime[1000050],cnt,miu[1000050],summiu[1000050]; bool vis[1000050]; ll calc1(ll n) { if(n<=m) return summiu[n]; if(f.count(n)) return f[n]; ll i,lst,ans=1; for(i=2;i<=n;i=lst+1) { lst=n/(n/i); ans=(ans-(lst-i+1)*calc1(n/i)%mod+mod)%mod; } return f[n]=ans; } ll calc2(ll n) { ll ans=0,i,lst; for(i=1;i<=n;i=lst+1) { lst=n/(n/i); ans=(ans+n/i*(lst-i+1))%mod; } return ans*ans%mod; } void init() { int i,j; miu[1]=summiu[1]=1; for(i=2;i<=m;i++) { if(!vis[i]) { prime[++cnt]=i; miu[i]=-1; } for(j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=m;j++) { vis[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0) { miu[i*prime[j]]=0; break; } miu[i*prime[j]]=-miu[i]; } summiu[i]=summiu[i-1]+miu[i]; } } int main() { init(); ll n,ans=0,i,lst; scanf("%lld",&n); for(i=1;i<=n;i=lst+1) { lst=n/(n/i); ans=(ans+(calc1(lst)-calc1(i-1)+mod)%mod*calc2(n/i))%mod; } printf("%lld\n",ans); }