读书笔记: 博弈论导论 - 15 - 不完整信息的动态博弈 序贯理性

读书笔记: 博弈论导论 - 15 - 不完整信息的动态博弈 序贯理性

在不完整信息中的序贯理性(Sequential Rationality with Incomplete Information)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

子博弈精炼(subgame perfection)

序贯理性就是要求玩家总是选择最佳反应。
子博弈精炼是要求玩家在每个信息集上总是选择最佳反应。

  • 在均衡路径上(on the equilibrium path), 不在均衡路径上(off the equilibrium path)
    \(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一个不完整信息博弈的贝叶斯纳什均衡。
    我们说一个信息集在均衡路径上(on the equilibrium path)，如果给定的\(\sigma^*\)和类型分布，这个信息集有正可能性到达。
    我们说一个信息集不在均衡路径上(off the equilibrium path)，如果给定的\(\sigma^*\)和类型分布，这个信息集被到达的可能性为0。

  • 信念体系
    一个信念体系\(\mu\),在一个扩展形式博弈中，给每个信息集的每个决策点(decision node)都分配了一个概率。

\[\mu(x) \in [0, 1] \\ \sum_{x \in h} \mu(x) = 1, \forall h \in H \]

  • 贝叶斯规则(Bayes' Rule)
    \(\Pr \{A|B \} = \frac{\Pr \{A \land B \} }{\Pr \{A \land B \} + \Pr \{\lnot A \land B \}}\)

精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)的四个需求：

  • 需求 15.1
    每个玩家在每个信息集上，都将有一个意义明确的信念（关于他的位置）。也就是说博弈将有一个信念体系。

  • 需求 15.2
    \(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一个不完整信息博弈的贝叶斯纳什均衡，我们要求在所有信息集上，在均衡路径上的信念符合贝叶斯规则。

  • 需求 15.3
    对于不在均衡路径上的信息集，其信念值可以是任何值。

  • 需求 15.4
    给定玩家的信念，玩家的策略必须是序贯理性。也就是说在每一个信息集上，玩家将选择信念对应的最佳反应。

  • 精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)
    如果满足需求15.1 ~ 15.4， 一个贝叶斯纳什均衡\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)和一个信念体系\(\mu^*\)构成一个精炼贝叶斯均衡。

精炼贝叶斯均衡也是贝叶斯纳什均衡和子博弈精炼均衡。

推论 15.1
一个（可能是混合的）策略组合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一个贝叶斯博弈\(\Gamma\)的贝叶斯纳什均衡，
如果策略组合\(\sigma^*\)能使所有的信息集都有具有可能性到达，
则策略组合\(\sigma^*\)和(从这个策略组合\(\sigma^*\)和类型的概率分布获得的)信仰系统\(\mu^*\)一起，
就构成了一个精炼贝叶斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)。

序贯均衡(Sequential Equilibrium)

  • 一致的策略组合和信念体系
    一个策略组合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)和一个信念体系\(\mu^*\)是一致的，
    如果存在一系列的非退化的混合策略组合\(\{ \sigma^k \}_{k=1}^{\infty}\)和一系列(根据贝叶斯规则获得的)信任\(\{ \mu^k \}_{k=1}^{\infty}\)，
    有\(\lim_{k \to \infty} (\sigma^k, \mu^k) = (\sigma^*, \mu^*)\)。

解释：

这里的意思是：策略组合和信念体系可以互相迭代求解（也可以理解为一个序贯均衡的求解方式）
策略应该简单地最大化每个信息集的预期收益。
那些在策略中得到正概率的信息集合的合理信念，应该是信息集合节点上的条件概率分布（根据贝叶斯规则）。

  • 序贯均衡(Sequential Equilibrium)
    一个策略组合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)和一个信念体系\(\mu^*\)是一个序贯均衡，
    如果\((\sigma^*, \mu^*)\)是一个一致的精炼贝叶斯均衡。

解释：

序贯均衡是一个精炼贝叶斯均衡。
而一个精炼贝叶斯均衡的策略组合和信念体系是一致的（根据一致性推导所得），这个精炼贝叶斯均衡才是一个序贯均衡。

序贯均衡由于难以应用，较少被使用。

参照

posted @ 2018-01-31 17:23  SNYang  阅读(4723)  评论(0)  编辑  收藏  举报