强化学习读书笔记 - 03 - 有限马尔科夫决策过程
学习笔记：Reinforcement Learning: An Introduction, Richard S. Sutton and Andrew G. Barto c 2014, 2015, 2016
代理-环境接口(The agent-environment interface)
代理(agent) - 学习者或者决策者
情节性任务(Episodic Tasks)和连续任务(Continuing Tasks)
情节性任务(Episodic Tasks)，所有的任务可以被可以分解成一系列情节。逻辑上，可以看作为有限步骤的任务。
马尔科夫属性(The Markov property)
state - 马尔科夫属性，表示当前环境的状态。
看看下面的公式：\(s'\) 、奖赏是\(r\) ）的概率。\(S*\) ，行动\(A*\) 和奖赏\(R*\) 决定的。
\[Pr\{s_{t+1} = s', R_{t+1} = r | S_0, A_0, R_1, S_1, A_1, \dots, R_t, S_t, A_t \} \\
\]
如果，我们有马尔科夫属性state，有了现在环境的所有状态，那么上面的公式可以简化为：\(s'\) 、奖赏是\(r\) ）的概率是由马尔科夫属性\(s\) 和行动\(a\) 决定的 。
\[p(s', r | s, a) = Pr \{S_{t+1} = s', R_{t+1} = r | S_t = s, A_t = a \}
\]
马尔科夫决策过程 - 数学模型
马尔科夫决策过程是一个强化学习问题的数学描述模型。
状态(state)-行动(action)-奖赏(reward)视图
目标(goal)-奖赏(reward)视图
决策过程视图
策略(policy)视图
状态(state)-行动(action)-奖赏(reward)视图
Markov Decision Processes - Terms
Markov Decision Processes - Terms
state
s
(state)
state1
s'
(state)
state->state1
r
(reward)
a
(action)
这是一个马尔科夫抉择过程的基本视图。
描述agent在状态$s$下，选择了行动$a$，状态变为$s'$，获得了奖赏$r$。
这个很容易理解，说明奖赏是行动引起状态转变后得到的。
举个特殊例子：天上掉馅饼的过程：行动是等待；新状态是获得馅饼。
目标(goal)-奖赏(reward)视图
Markov Decision Processes - Goal
Markov Decision Processes - Goal
S2
...
S_t
S_t
S2->S_t
S_t_1
S_t+1
S_t_2
...
S_t_1->S_t_2
R_t+2
A_t+1
S0
S0
S1
S1
S0->S1
R1
A0
S1->S2
R2
A1
S_t->S_t_1
R_t+1
A_t
奖赏假设(reward hypothesis) - 目标就是：最大化长期累计奖赏的期望值。
注：不是立即得到的奖赏。
回报$G_t$：
$$
G_t \doteq \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} \\
where \\
\gamma \text{ - is a parameter, discount rate, } 0 \leqslant \gamma \leqslant 1
$$
$\gamma$折扣率决定了未来奖赏的当前价值：
在k步之后的一个奖赏，如果换算成当前奖赏，需要乘以它的$\gamma^{k-1}$倍。
情节性任务(episodic tasks)的回报计算
\[G_t \doteq \sum_{k=0}^{T-t-1} \gamma^k R_{t+k+1} \quad (T = \infty \text{ or } \gamma = 1 \text{ (but not both)}) \\
where \\
T \ne \infty \text{ - case of episodic tasks} \\
T = \infty \text{ - case of continuing tasks}
\]
决策过程视图
Reinforcement Learning - Markov Decision Processes
Reinforcement Learning - Markov Decision Processes
s
s
a
s->a
a
a_2
s->a_2
a_2
s_1
s'
s_2
s_2'
r
a->r
p(s'|s,a)
r_3
a->r_3
p(s_2'|s,a)
r_4
a_2->r_4
r->s_1
p(s',r|s,a),r
r->s_1
p(s',r'|s,a),r'
r'
r_3->s_2
r_4->s_1
上图说明了：
状态\(s\) 下，采取行动\(a\) ，转变成新状态\(s'\) ，是由概率\(p(s' | s, a)\) 决定的。
状态\(s\) 下，采取行动\(a\) ，转变成新状态\(s'\) ，获得的奖赏\(r\) ，是由概率\(p(s', r | s, a)\) 决定的。
引起状态\(s\) 到状态\(s'\) 的转变行动，不一定是唯一的。
相应的数学定义和公式
在状态\(s\) 下，执行行动\(a\) ，转变为状态\(s'\) 并获得奖赏\(r\) 的可能性：
\[p(s', r | s, a) \doteq Pr \{S_{t+1} = s', R_{t+1} = r | S_t = s, A_t = a \}
\]
在状态\(s\) 下，执行行动\(a\) 的期望奖赏：
\[r(s,a) \doteq \mathbb{E}[R_{t+1} | S_t = s, A_t = a] = \sum_{r \in \mathcal{R}} r \sum_{s' \in \mathcal{S}} p(s', r|s,a)
\]
在状态\(s\) 下，执行行动\(a\) ，转变为状态\(s'\) 的可能性：
\[p(s' | s,a) \doteq Pr \{S_{t+1} = s' | S_t=s, A_t=a \} = \sum_{r \in \mathcal{R}} p(s',r | s,a)
\]
在状态\(s\) 下，执行行动\(a\) ，转变为状态\(s'\) 的期望奖赏：
\[r(s,a,s') \doteq \mathbb{E}[R_{t+1} | S_t = s, A_t = a, S_{t+1} = s'] = \frac{\sum_{r \in \mathcal{R}} r p(s',r|s,a)}{p(s'|s,a)}
\]
策略视图
强化学习的目标是找到（可以获得长期最优回报）的最佳策略。
\(\pi\) - 策略(policy)。\(\pi\) - 策略(policy)。强化学习的目标：找到最优策略 。\(s\) 时，应该选择的行动\(a\) 。
\[\pi = [\pi(s_1), \cdots, \pi(s_n)]
\]
\(\pi(s)\) - 策略\(\pi\) 在状态\(s\) 下，选择的行动。\(\pi_*\) - 最优策略(optimal policy)。\(\pi(a | s)\) - 随机策略 \(\pi\) 在状态\(s\) 下，选择的行动\(a\) 的概率。
价值方法(Value Functions)
使用策略\(\pi\) ，状态价值方法 - state-value function
\[v_{\pi}(s) \doteq \mathbb{E}[G_t | S_t = s] = \mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s \right ] \\
where \\
\pi \text{ - polity} \\
\mathbb{E}_{\pi}[\cdot] \text{ - the expected value of a value follows policy } \pi
\]
使用策略\(\pi\) ，行动价值方法 - action-value function
\[q_{\pi}(s,a) \doteq \mathbb{E}[G_t | S_t = s, A_t = a] = \mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s, A_t = a \right ] \\
\]
使用策略\(\pi\) ，迭代状态价值方法 - iterative state-value function \(v_{\pi}\)
\[\begin{align}
v_{\pi}(s)
& \doteq \mathbb{E}[G_t | S_t = s] \\
& = \mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} | S_t = s \right ] \\
& = \mathbb{E}_{\pi} \left [ R_{t+1} + \gamma\sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+2} | S_t = s \right ] \\
& = \sum_{a} \pi(a|s) \sum_{s'} \sum_{r} p(s',r|s,a) \left [ r + \gamma\mathbb{E}_{\pi} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+2} | S_{t+1} = s' \right ] \right ] \\
& = \sum_{a} \pi(a|s) \sum_{s',r} p(s',r|s,a) \left [ r + \gamma v_{\pi}(s') \right ], \ \forall s \in \mathcal{S}
\end{align}
\]
最优价值方法(Optimal Value Functions)
最优状态价值方法 - optimal state-value function
\[v_*(s) \doteq \underset{\pi}{max} \ v_{\pi}(s), \forall s \in \mathcal{S}
\]
最优行动价值方法 - optimal action-value function
\[q_*(s, a) \doteq \underset{\pi}{max} \ q_{\pi}(s, a), \ \forall s \in \mathcal{S} \ and \ a \in \mathcal{A}(s)
\]
最优的行为价值等于最优的状态价值下的最大期望：
\[q_*(s,a) = \mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma v_* (S_{t+1}) \ | \ S_t = s, A_t = a]
\]
最优状态价值迭代方法 - interval optimal state-value function
\[\begin{align}
v_*(s)
& = \underset{a \in \mathcal{A}(s)}{max} \ q_{\pi_*}(s, a) \\
& = \underset{a}{max} \ \mathbb{E}_{\pi*} [G_t \ | \ S_t=s, A_t=a] \\
& = \underset{a}{max} \ \mathbb{E}_{\pi*} \left [ \sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+1} \ | \ S_t=s, A_t=a \right ] \\
& = \underset{a}{max} \ \mathbb{E}_{\pi*} \left [ R_{t+1} + \gamma\sum_{k=0}^{\infty} \gamma^k R_{t+k+2} \ | \ S_t=s, A_t=a \right ] \\
& = \underset{a}{max} \ \mathbb{E}[R_{t+1} + \gamma v_*(S_{t+1}) \ | \ S_t=s, A_t=a ] \\
& = \underset{a \in \mathcal{A}(s)}{max} \sum_{s',r} p(s',r|s,a)[r + \gamma v_*(s')] \\
\end{align}
\]
参照
