算法学习——动态规划之点数值三角形的最小路径

算法描述

在一个n行的点数值三角形中，寻找从顶点开始每一步可沿着左斜或者右斜向下直到到达底端，使得每个点上的数值之和为最小

右图为一个4行的点数值三角形

算法思路

接收用户输入行数n
使用一个二维数组a[n+1][n+1]来存放各个点上的数值,数值可以由用户输入或者是随机生成
定义一个二维数组（用来存放方向）direction[n+1][n+1]，存放1或0，1代表右，0代表左
定义一个二维数组b[n+1][n+1] 表示到底端的数值之和

以上图4行的点数值三角形为例

b[4][1]=47 b[4][2]=93

b[3][1]=43

这里b[3][1]是可以等于47，也可以等于93，但题目要求的是最小，所以这里取小的值

b[3][1]其实是由逆推得到的，具体看下面
b[n+1][n+1]的递推关系
- 初始值
  
  从最后一行开始
  
  b[n][i]=a[n][i] i遍历完最后一行的所有元素
- 递推关系
  
  b[n][i]=Math.min(b[n+1][i],b[n+1][i+1]) 取最小值

算法实现

	System.out.println("输入数字三角形的行数n：");
	Scanner scanner = new  Scanner(System.in);
	int n = scanner.nextInt();
	scanner.close();
	int[][] a= new int[n+1][n+1];

	//随机赋值数字三角形
	for(int i=1;i<n+1;i++){
		for(int j =1;j<=i;j++){
			a[i][j] = (int) (Math.random()*100);
		}

	}
	//输出数字三角形
	for(int i=1;i<n+1;i++){
		for(int j =1;j<=i;j++){
			System.out.print(a[i][j]+"    ");
		}
		System.out.println("");

	}

	int[][] b = new int[n+1][n+1];
	int[][] direction = new int[n+1][n+1];//0是左，1是右

	//最后一行的长度为其本身
	for(int i=1;i<n+1;i++){
		b[n][i] = a[n][i];
	}

	//关键逆推代码
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			if(b[i+1][j+1]<b[i+1][j]){
				b[i][j]=a[i][j] + b[i+1][j+1];
				direction[i][j]=1;//右边的数值较小，则记录方向为右

			}else{
				b[i][j]=a[i][j] + b[i+1][j];
				direction[i][j]=0;//左边的数值较小，则记录方向为左
			}
		}
	}
	System.out.println("最小路径和为"+b[1][1]);
	int flag = 1;
	int j=1;
	//循坏结束
	while(flag!=n){
		System.out.print(a[flag][j]);
		if(direction[flag][j]==1){
			System.out.print("->向右");
			flag++;
			j++;

		}else{
			System.out.print("->向左");
			flag++;
		}

	}
	System.out.print("->"+a[flag][j]);

}