UVA_10280
没想到这个题目用一个剪枝和感觉上复杂度比较大的dp就可以过掉，当然这个题目的复杂度如果真仔细算起来感觉还是比较麻烦的，我在后面也提了几点设想，也许真正的复杂度没有到我们想象得那么大。
先把剪枝放在这里，设limit=min{max*min/(max-min)}，那么如果酒量是大于limit的，就必然能够全部装下，否则我们再执行dp。
下面我们开始证明这个剪枝的正确性。我们不妨先对一类瓶子进行讨论，设其最小、最大的装酒量分别是min、max，实际上如果有[x/max]<[x/min]，那么酒量x就一定可以全部被装进去，因为满足min*[x/min]<=x<=max*[x/min]，必然可以找到一点x’使得x’*[x/min]==x，其中方括号都是向下取整运算。我们不妨设x/max的小数部分是e1，x/min的小数部分是e2，如果有[x/max]<[x/min]，即为x/max-e1<x/min-e2，整理得x/max-x/min<e1-e2，同时由于-1<e1-e2，所以如果x/max-x/min<=-1，那么原不等式必然成立，进一步化简就可以得到x>=max*min/(max-min)。
其实，看了别人的一篇博客后，发现可以用更简单的方式去证，同时还能使剪枝更强。同样，先把剪枝放在这里，limit=min{min*min/(max-min)}。
对于一类瓶子，我们不妨设用k个瓶子去装酒，那么能够完全装下的范围就是[k*min,k*max]，随着k的增大，我们发现所有相邻区间的左端点的间距是固定的，同时区间的长度又在不断增加，于是我们猜想，到某一刻时，后面的区间相互之间会有交集，这样剩下的各个区间就会覆盖掉后面所有的整数。我们设刚开始产生交集的区间为第k个，这样有k*max>=(k+1)*min，解得k>=min/(max-min)，而当酒量x>=k*min的时候，就一定能全被装进去，这样就有x>=min*min/(max-min)。
最后说一说dp的过程吧，有了上面的剪枝，我们最起码能把总酒量的状态减到4500*4500，大约是2*10^7，剩下的工作就是把瓶子按不同的容积拆成max-min+1个瓶子，然后做完全背包的dp。这样我们不妨想一下，最后瓶子数乘上酒量的状态数会不会超呢？实际上由于min<=0.99max，所以即使容量是4500也实际只有不到450000个状态，远小于2*10^7，当然最大是否有可能超过450000而且最大是多少还要根据剪枝的函数来确切算一下，而且我们dp前是可以把体积重复的瓶子去掉的，由于判重的剪枝瓶子数最后能不能到比较大的水平也是个问题，所以整体的复杂度受多方因素的制约。
就剪枝min*min/(max-min)来讲，由于min*min/(max-min)<=min*min/(min/0.99-min)<450000，所以最多不会超过450000个状态。
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define MAXD 4600
#define MAXL 450000
#define MAXN 110
#define MAXn 18000
#define INF 0x3f3f3f3f
int L, N, min[MAXN], max[MAXN], f[MAXL], vis[MAXD], v[MAXn];
void solve()
{
int i, j, k, n, limit;
scanf("%d%d", &L, &N);
L *= 1000;
limit = INF;
for(i = 0; i < N; i ++)
{
scanf("%d%d", &min[i], &max[i]);
if(min[i] * min[i] / (max[i] - min[i]) < limit)
limit = min[i] * min[i] / (max[i] - min[i]);
}
if(L > limit)
{
printf("0\n");
return;
}
n = 0;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
for(i = 0; i < N; i ++)
for(j = min[i]; j <= max[i]; j ++)
if(!vis[j])
{
vis[j] = 1;
v[n ++] = j;
}
memset(f, 0, sizeof(f));
for(i = 0; i < n; i ++)
for(j = v[i]; j <= L; j ++)
if(f[j - v[i]] + v[i] > f[j])
f[j] = f[j - v[i]] + v[i];
printf("%d\n", L - f[L]);
}
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while(t --)
{
solve();
if(t)
printf("\n");
}
return 0;
}
