质数及线性筛
质数与线性筛
本文将详细将接OI中对于质数的筛法
1.基本筛法
对于一个合数 N ,一定存在一个能够整除 N 的数介于 2 - sqrt{N} 。
正确性显然,只需反证即可。
所以只需要对 2 - sqrt{N} 的数扫一遍即可
bool simple( int a ){
for( int i = 2 ; i <= sqrt(a) ; i++ )
if( a % i == 0 ) return false ;
return true ;
}
2. Eratosthenes筛法
这个筛法是我在初学时经常使用的,原因是既方便又好写,对于 部分水题 或者 不是以筛质数为主要目的题 的可以快速写完。
其原理大致如下
筛法执行过程
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
T F F F F
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
T T F F F F F
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
T T F T F F F F
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
T T F T F T F F F
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ...
T T F T F T F F F T
我们对于从2开始的每一个数,先进行扫描,如果没有 False 标记,则表明这个数之前的所有数都无法整除它,将其加入质数表,并将其倍数都打上 False 标记 。
先上代码
int num , tot , d[ maxn ] ;
bool used[ maxn ] ;
void Eratosthenes(){
for( int i = 2 ; i <= num ; i++ ){
if( !used[ i ] ){
tot++ ;
d[ tot ] = i ;
for( int j = i ; j <= num/i ; j++ )
used[ i*j ] = true ;
}
}
}
int main(){
scanf("%d",&num);
Eratosthenes();
for( int i = 1 ; i <= tot ; i ++ )
printf("%d ", d[ i ] ) ;
return 0 ;
}
埃氏筛的复杂度接近线性,达到了 N(N logN logN )。但是埃氏筛对部分有多个因数的数进行了多次删除,以至于可能被卡掉。所以我们有了优化后的线性筛法。
3.线性筛法
既然有部分数会被多个质因子筛重复筛,那么,我们只需要让每个合数只被它的最小质因子筛一次即可。
在这里给出具体的思路和代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int used[ maxn ] , p[ maxn ] , num , tot = 0 ;// p[ ]数组用来存筛出的质数
void Primefactor(){
for( int i = 2 ; i <= num ; i++ ){
if( used[ i ] == 0 ){
tot++ ;
used[ i ] = i ; p[ tot ] = i ;
}
for( int j = 1 ; j<= tot ; j++ ){
if( p[ j ] > used[ i ] || p[ j ] > num/i )break ;//不要忽视边界问题
used[ i * p[ j ] ] = p[ j ] ; // 判定
}
}
}
int main(){
scanf( "%d",&num );
Primefactor() ;
for( int i = 1 ; i <= tot ; i ++ )printf( "%d ",p[ i ] ) ;
return 0 ;
}