# 数论-欧拉函数+欧拉降幂

数论-欧拉函数+欧拉降幂

• 欧拉函数：数论中，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（\(phi[1]=1\)）。对于素数来说，\(phi(n)=n-1\)。

• 求单个欧拉函数值\(O(\sqrt{n})\)

LL phi(LL n){//获取欧拉函数，和分解质因子求解欧拉函数用处一样
	LL x=n;
	for(LL i=2;i*i<=n;i++){
		if(n%i==0){//第一次找到的必为素因子
			x=x-x/i;//记住 =不是+=，x/i不是n/i; 
			while(n%i==0)n/=i;
		}
	}
	if(n>1)x=x-x/n;//记住 =不是+=，x/n 
	return x;
}

• 优化求单个欧拉函数：可以先找出一定范围内的素数表，不考虑素数表的形成的话，求单个欧拉函数的值复杂度\(O(x),x为\sqrt{n}内的素数个数\)

int p[];//素数表
int phi(int n)
{
    int rea=n;
    for(int i=0; p[i]*p[i]<=n; i++)//对于一些不是素数的可不遍历
        if(n%p[i]==0)
        {
            rea=rea-rea/n;
            do
                n/=p[i];
            while(n%p[i]==0);
        }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}

• 欧拉函数递推

int phi[maxn];
void phi_table(int n)
{
    memset(phi,0,sizeof(phi));
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        if(!phi[i])
            for(int j=i;j<=n;j+=i)
            {
                if(!phi[j])phi[j]=j;
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
            }
}