# 国王游戏（贪心+大数乘除+微扰法证明）

国王游戏（贪心+大数乘除+微扰法证明）

• 题意：n个大臣和一个国王，左右手都有一个数，排队，国王始终拍在最前面，每个大臣的奖励为这个大臣前面的人的左手上的数之积除以这个大臣右手上的数。构造最优队伍，使得奖励最多的大臣的奖励最少。

证明： 微扰法的使用

我们现在将任意两个人的位置互换，然后考虑他们在交换前和交换后所获得的奖励是多少，其他人的奖励不变：

交换前：
第 \(i\) 个人是 : \(A_0 * A_1*....*A_{i-1}/B_i\)
第 \(i+1\) 个人是 ： \(A_0 * A_1*....*A_{i}/B_{i+1}\)

交换后：
第 \(i\) 个人是 : \(A_0 * A_1*....*A_{i-1}/B_{i+1}\)
第 \(i+1\) 个人是 : \(A_0 * A_1*....*A_{i-1}*A_{i+1}/B_i\)

只需要比较交换前后这两个人中最大值的变化，提取公因式之后就是比较\(max(B_{i+1},A_i*B_i)\)和\(max(B_i,A_{i+1}*B_{i+1})\)

由于大臣手中都是正数，所以$$B_{i+1}<B_{i+1}A_{i+1}$$ $$A_{i}B_{i}>B_i$$于是，当\(A_i*B_i <= A_{i+1}*B_{i+1}\)，左式小于右式，交换前更优，反之交换后更优，也就是说在任何局面下，减少逆序对都不会使整体结果变差，增加逆序对会使整体结果变差。根据冒泡排序思想，从小到大排好序的序列就是最优解。

时间复杂度
排序的时间复杂度是 \(O{nlogn}\)。
这道题目的时间复杂度瓶颈在高精度计算上，最坏情况下所有 \(A_i=9999\)，则前i个数的乘积大约是4i位，每次乘一个新的数就需要 4i 的计算量，所以总共的计算量是 \(4*\sum_{n=1}^i{i}=O{n2}\)

AC code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//宏定义，编译时展开，占用编译时间
#define fre freopen("C:\\Users\\22765\\Desktop\\in.txt","r",stdin);
#define mem(a) memset((a),0,sizeof(a))
#define re(i,a,b) for(int (i)=(a);(i)<(b);(i)++)
#define sf(x) scanf("%d",&(x))
typedef long long LL;
const int inf=(0x7f7f7f7f);
const int maxn=1004;
typedef pair<int,int> pii;
int n;
pii p[maxn];
vector<int> ans,MAX,anst;
vector<int> bmul(int a){
	vector<int> c;
	int t=0;
	for(int i=0;i<ans.size();i++){
		t+=(ans[i]*a);
		c.push_back(t%10);
		t/=10;
	}
	while(t){
		c.push_back(t%10);
		t/=10;
	}

	return c;
}

vector<int> bdiv(int a){
	vector<int> c;
	int t=0;
	bool is_first=1;
	for(int i=ans.size()-1;i>=0;i--){
		t=t*10+ans[i];
	 
		int x=t/a;
		//注意这里判断，除法过程中，首部的0无效，中间的0是有效数字
		//000123045 ,000是无效数字，304中间的0是有效数字 
		if(!is_first||x){
			is_first=0;
			c.push_back(x);
		}
		t%=a;
		
	}
	if(c.empty())c.push_back(0);
	reverse(c.begin(),c.end()) ;
	return c;
}
bool judge(){//ans>MAX?
	if(anst.size()>MAX.size())return true;
	if(anst.size()<MAX.size())return false;
	for(int i=anst.size()-1;i>=0;i--){
		if(anst[i]>MAX[i])return true;
		if(anst[i]<MAX[i])return false;
	}
	return false;//==
}
int main(){

	sf(n);
	int a,b;
	re(i,0,n+1){
		sf(a);sf(b);
		p[i]=make_pair(a*b,a);
	}
	
	sort(p+1,p+n+1);
	a=p[0].second;
	while(a){
		ans.push_back(a%10);
		a/=10; 
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++){

		anst=bdiv(p[i].first/p[i].second);

		ans=bmul(p[i].second);

		if(judge()){
			MAX=anst;
		}
	}

	for(int i=MAX.size()-1;i>=0;i--)printf("%d",MAX[i]);
	return 0;
}