读书笔记2013第13本：《怎样解题》

《怎样解题》这本书是在看《编程大师访谈录》（中文版第12页）这本书时无意发现的，一个编程大师推荐这本书来指导编程设计，google到这本书后粗略地翻看了一遍，发现是一本教学生如何解数学题的非常有年头的书。随着仔细品读，发现这本书更多地是写给老师们的，而不仅仅是写给学生的，但学生也能从中学到许多在解题过程中的思维技巧和思维方式。看这本书一是看看对自己编程有什么帮助，再一个就是让孩子掌握解题的思考方式。

波利亚在1945年完成了这本书的第一版，书很快畅销，被翻译成了17种语言，1957年出了第二版，我看的中文版好像是阎育苏在90年代翻译的，里面有些字句翻译得不太准确，我对照着英语版，发现许多地方是把英语中的should翻译错了。

这本书主要是通过2页纸的“怎样解题表”来展开的，作者把解题的过程分为了弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾4个步骤，每个步骤中提出了一些普遍性的问题，这些问题非常适合老师用来引导学生一步步找到答案，正如古话说“授之以鱼，不如授之以渔”，波利亚针对一个问题，并不是把答案扔给学生，也不是把解题过程扔给学生，而是提出许多问题来，这些问题非常有技巧，不能太泛，也不能太具体，通过学生自己回答问题，来去发现问题的解。在“怎样解题表”中就是一系列的问题，而全书前面用一些例子说明了提出这些问题的目的，后面给出了一些术语说明或思维技巧，当然里面也穿插着一些例题，许多题并不需要高中以上的知识，但仍有相当的难度，但跟随着书中的问题，你果然也能够想到问题的解。

书的第一部分介绍了解题表的目的，四个阶段的主要问题。

书的第二部分介绍了在四个阶段可以思考哪些问题。

书的第三部分叫“探索法小词典”，里面的条目是按英文的字母顺序来排列的，翻译后作者就很难找到这些条目的对应关系，需要来回查找这67个条目。

书的第四部分给出一些习题和答案，与其它书不同的是还给出了解题的提示问题。

 

怎样解题表

一、弄清问题[1]   你必须弄清问题	未知数[2]是什么？已知数是什么？条件[3]是什么？ 是不是有可能满足所有条件[4]？要确定此未知数，条件是不是充分的？或者不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？ 画张图[5]，引入适当的符号[6]Notation。 把各个条件拆开考虑[7]，你能把它们写下来吗?
二、拟定计划   找出已知数与未知数之间的联系。 如果找不出直接的联系，你可能需要考虑辅助问题。 最终你应该得到一个求解的计划。	你以前见过这个问题吗？或者是形式稍有不同的相同问题？[8] 你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能会用到的定理？ 看着未知数！[9]试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。 你有一个早已解决的问题，且与你现在的问题有关，你能不能利用它？ 能利用它的结果吗[10]？你能利用它的方法吗？是不是可以引入某个辅助元素[11]，就可以利用它？你能重新叙述这个问题吗？你能不能换种方法来重新叙述它？ 回到定义去[12]。 如果你不能解决所提出的问题[13]，可以先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？未知数会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或已知数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？ 你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了全部条件？你是否考虑了问题中的所有主要概念？
三、实行计划   实行你的计划	执行你的求解计划，检验每一步骤。 你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
四、回顾   验算所得到的解	你能验证这个结果吗？[14]能否用别的方法导出这个结果[15]？你能一下子看出结果来吗？ 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题？

[1] 这张解题表主要是针对求解题来说明的，另外一类问题是求证题（或证明题），可以参看【42】。

[2] 未知数的英文原文是unknown，对于一个方程题，这个未知数容易理解，对于一道作图题，这个未知数就是指要作出的图形，对于一道谜语，这个未知数就是指的谜底。对于求证题，要解决的问题就是证明那个结论。作者指出了求解题的三要素（书中翻译成主要部分Principal Parts）：未知Unknown、已知Data和条件Condition。

[3] 在【57】新旧术语中介绍了条件，条件用来把未知和已知联系起来。

[4] 在【10】指出条件可以划分为多个部分，这些条件可能正好是充分的，有可能有些条件是多余的Redundant【46】，或自相矛盾的【11】。例如：三个未知数的三元一次方程，如果有3个方程，那么可能是充分的；如果给了4个方程式，那就或者是冗余的，或者是矛盾的。

[5] 作者强调了在解题中图【24 Figures】的重要性。对于几何题是必须要画图的，画精确的图太浪费时间，但草图也不能太草，否则可能会使你产生误解。一个普通的三角形可以画成三个角大概是45度、60度和75度，这样这个三角形就既不是等腰三角形也不是直角三角形。画图时可以用实线虚线、粗线细线或不同颜色的线来表示不同的特点，比如可以用蓝色来区分两个相似的三角形。即使不是几何问题，经常也是可以画出图形来帮助解题的。

[6] 作者在【38】里指出，选用好的适合的数学符号，有时对解题会很有帮助。

[7] 在【15】中谈到可以将问题分解和重新组合，在【51】中说明可以将已知数据先与一小部分条件考虑，看能得出什么，分开考虑之后再经过组合，有时会立刻出来结果。书中给出一个例题，已知一个三角形的顶角、高和底边，画出这个三角形。先考虑固定底边，相同高的三角形的顶点会形成什么图形？再考虑固定底边，相同顶角的三角形的顶点是个什么图形？把所有条件一起考虑，问题就解决了！

[8] 在【26】中谈到要积极地搜索以前学过的知识，以前做过的类似的题。

[9] 对于求解题就是看着未知数，对于求证题，就是看着结论。做题的过程中不要忘了你的目标【36】。

[10] 利用普遍化【25 Generalization 】、特殊化【54 Specialization 】、类比【1】或分解组合【15】等方法，很容易想出一个新问题【8】。

[11] 做几何题里的辅助元素【2】通常就是指辅助线，引出新的未知数，就会产生辅助问题【3】，这里举了一个并不简单的做图题例，已知三角形的顶角、高和周长，作出这个三角形。

[12] 吃透定义【16】对于解题非常重要，这里有一个有关抛物线的例题来说明掌握抛物线的准确定义对于解题非常关键，已知一抛物线的焦点、准线，还有另外一直线（第86页），作出直线与抛物线的交点来。如果不知道抛物线上的所有点到焦点的距离与到准线的距离相等这个定义，那么这道题将无从下手。

[13] 在解题过程受阻时，这里给出了一些思考方法，想想以前相关的问题，简化问题，更普遍的问题，类比，只考虑部分条件，改变已经数或未知数，画个图，列方程，重新思考定义，从已知数向前推导、思考对称性【56】、或者倒着干【67】等等。

[14] 检验过程要避免单纯的重复【6】，在跌倒过的地方，如果环境与上次一样，你还会犯同样的错误，所以在检验的过程中要刻意地去改变一下次序，重新分组，或一种办法等，代入一些特殊值进行检验通常是比较快速的办法，在一个任意三角形公式中，可以用等边三角形这些特殊的三角形来快速验证结果的正确性；另外还有量纲检验【58】，对称性检验等办法进行粗略的检验。

[15] 作完题后如果再能找到更简便的解法，会加深你对这类题型的印象。第61页给出了正圆台侧面积公式的另一种思考方式，能更快地求出圆台的侧面积，并且与梯形面积公式进行了类比，从而不需死记硬背。

 

 

下面是第三部分中各词条的中英文对照表

【1】类比Analogy

【2】辅助元素Auxiliary Elements 

【3】辅助问题Auxiliary Problem 

【4】波尔查诺Bolzano

【5】好念头Bright Idea 

【6】你能检验这结果吗?Can you check the result? 

【7】你能用不同方法推导出这一结果吗? Can you derive the result differently?

【8】你能利用这个结果吗? Can you use the result?

【9】实施计划Carrying out（原文翻译为实现）

【10】条件Condition

【11】矛盾Contradictory

【12】推论Corollary

【13】你能从已知数据推导出某些有用的东西吗?Could you derive something useful from the data?  

【14】你能重新叙述这个问题吗?Could you restate the problem? 

【15】分解与重新组合Decomposing and recombining 

【16】定义Definition

【17】笛卡尔Descartes

【18】决心，希望，成功 Determination, Hope, Success 

【19】诊断Diagnosis

【20】你是否利用了所有的已知数? Did you use all the data? 

【21】你知道一个与此有关的问题吗? Do you know a related problem? 

【22】画张图Draw a figure 

【23】检验你的猜测Examine your guess 

【24】图形Figures

【25】普遍化Generalization

【26】你以前见过它吗? Have you seen it before?

【27】这个问题与你以前早已解决的问题有关 Here is a problem related to yours and sloved before 

【28】探索法Heuristic（我喜欢翻译为启发法）

【29】启发式推理Heuristic Reasoning（原文翻译为探索式论证）

【30】如果你不能解决所提出的问题If you cannot solve the proposed problem 

【31】归纳与数学归纳法Induction and mathematical induction 

【32】发明家的悖论Inventor’s paradox 

【33】能满足条件吗? Is it possible to satisfy the condition?

【34】莱布尼兹Leibnitz

【35】引理Lemma

【36】看着未知数Look at the unknown 

【37】现代探索法Modern heuristic 

【38】符号Notation

【39】帕扑斯Pappus

【40】拘泥与精通Pedantry and Mastery 

【41】实用的问题Practical Problems 

【42】求解题，求证题Problems to find, Problems to prove 

【43】进展与成就Progress and Achievement 

【44】谜语Puzzles

【45】归谬法与间接证明Reductio ad absurdum and indirect proof 

【46】冗余的Redundant

【47】常规问题Routine problem （原文中翻译为代公式问题）

【48】发明创造的规律Rules of discovery 

【49】风格的规律Rules of style 

【50】教学的规律Rules of teaching 

【51】把条件的各个部分分开Separate the various parts of the condition 

【52】建立方程Setting up equations 

【53】进展的标志Signs of progress 

【54】特殊化Specialization

【55】潜意识的工作Subconscious work 

【56】对称Sysmmetry

【57】新术语和老术语Terms, old and new 

【58】量纲检验 Test by dimension

【59】未来的数学家 The future mathematician

【60】聪明的解题者The intelligent problem-solver 

【61】聪明的读者 The intelligent reader

【62】传统的数学教授 The traditional mathematics professor

【63】问题的变化 Variation of the problem

【64】未知数是什么? What is the unknown?

【65】为什么要证明? Why proofs?

【66】谚语的智慧 Wisdom of proverbs

【67】倒着干  Working backwards