读书笔记：《从一到无穷大》

这本书是看《数学之美》时发现的，原来是80年代的一本老书，但书中涉及的范围相当之广，从数字到无穷大，再到四维空间，再到相对论，再到微观世界，再到宏观世界，有些内容用一些简单的办法让人能够理解，具有高中知识的人也可以理解，而用复杂的复变函数或范函分析之类的术语，则会把大多数人吓跑。

看了豆瓣的评论，原来这本书并不是伽莫夫一个人写成的，里面也用了许多别人的成果，也就不去考证了。

http://book.douban.com/people/57526326/annotation/1102715/

第一章 大数

在古代的时候，无法表示很大的数，所以科学计数法是个了不起的发明。

国际象棋盘上放麦料的故事听了许多次了，总共的麦粒为：2^64 – 1 = 18,446,744,073,709,551,615颗。

64片的汉诺塔移动的次数也是这个18,446,744,073,709,551,615次。

一台永不停歇的自动印刷机想要写出一行65个字符的莎士比亚的诗的概率是1 / (50 ^ 65)，现在有计算机就是好，算了算50^65=2.7E+110，世界上每个原子都是印刷机（10^74台），从地球诞生的时候就开始印刷（到现在工作了三十亿年），还是以原子振动的频率（1秒印10^15行）来工作，才能印出3.0E+106行。

比较两个无穷大的大小，原来数学家康托尔(Georg Cantor)已经思考了这个问题。

用一一对应的办法来说明两个无穷大数的比较，讲得浅显易懂。所有的整数和所有的分数原来是一样多的。

2 -- 1/1

3 -- 1/2 2/1

4 -- 1/3 2/2 3/1

……

在无穷大的世界里，部分可能等于全部。

证明线段上的点数与平面上的点数一样多，方法挺巧妙。

三级无穷大的数：N0所有的整数，N1所有的几何点，N2所有的曲线。

 

第二章 自然数和人工数

到现在感觉数论还是有应用的地方的，比如在大数的质因子分解成功地应用在密码学里。

证明不存在最大的质数的方法相当巧妙，初中生都能明白。1*2*3*5*7*11*13*...*N+1，反证法。

费马数，或称费马素数、费马质数，如这种形式，，但只发现前5个（3、5、17、257、65537）是质数，后面的都是合数，看百度百科http://baike.baidu.com/view/443594.htm

哥德巴赫猜想，记得在大学时听过一场潘承洞弟子举办的讲座，明白了什么叫陈景润证明的"1+2"，原来离"1+1"仅一步之遥的猜想至今也无法解决。

质数分布定理：从1到任何自然数N之间所有质数的百分比，近似由N的自然对数的倒数所表示。

x^n + y^n == z^n 当n>2时不存在整数解，著名的费马方程至今也无人能证明。

-1的平方根，虚数i的引入，用几何旋转来去理解复平面！

 

第三章 空间的不寻常的性质

拓扑学中的一个重要定理（欧拉定理）：V + F = E + 2，其中V是顶点数，E是棱数，F是面数，这里的多面体是没有空洞的。

关于这个定理的证明也是挺有意思的，第一步的思考相当值得借鉴，割去一个面，变换成平面上的问题。要证明平面上的网络V-E+F=1。

著名的四色定理，在以前听说用计算机证明了这个定理时，好像与这个欧拉定理也有关系。

把空间翻过来！关于一个苹果内部黑虫和白虫隧道的空间想像。

关于一个被虫子蛀过的苹果如何变换为面包圈的拓扑变换，经过一番切除和粘合，真是需要一定的空间想像力。

 

第四章 四维世界

我们在三维空间中理解四维空间，可以试着从二维扁平人的角度来看三维世界。

这一章理解好累啊。

第五章 时空的相对性

讲到了爱因斯坦的相对论，讲到了运动的物体实际上长度缩短了，讲到三角形的内角和不一定是180度。

这一章更难理解了。爱因斯坦果然是个神，非要在四维空间中展开不停地想象。

第六章

这一章来到了微观的化学世界，讲了一个简便易行的试验，可以测量油分子的大小。

 

以后几章又从微观世界走到宏观世界，需要以后有空再慢慢读吧，虽然尽量用比较容易懂的方式来写，但内容覆盖的范围实在太广，包括物理、化学、生物的内容，需要根据个人兴趣慢慢琢磨。

看来这本书与《失控》都是需要一小节一小节进行阅读的消化的书。