脉冲整形

系统模型

假设\(\{a_n\}\)为发射滤波器的输入符号序列，例如，在二进制情况下，\(\{a_n\}\)的取值为0,1或者+1,-1。基带信号则为

\[d(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n \delta (t-nT_s). \]

发送滤波器产生的输出信号为

\[s(t) = d(t)*g_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n g_T(t-nT_s). \]

设发送滤波器的传输特性为\(G_T(\omega)\)，即

\[G_T(\omega) \leftrightarrow g_T(t). \]

若再设信道的传输特性为\(C(\omega)\)，接收滤波器的传输特性为\(G_R(\omega)\)，则基带传输系统的总传输特性为

\[H(\omega) =G_T(\omega) C(\omega) G_R(\omega). \]

其单位冲击响应为

\[h(t) \leftrightarrow H(\omega). \]

接收滤波器输出信号\(r(t)\)为

\[r(t)=d(t)*h(t) + n_R(t) \]

注：\(n_R(t)\)是加性高斯白噪声\(n(t)\)经过接收端滤波器之后的输出。

基于定量模型的分析

在接收端，抽样判决器对\(r(t)\)进行抽样判决，一确定传输的数字信息序列\(\{a_n\}\)。例如，为了确定第\(k\)个码元\(a_k\)的值，首先应在\(t=kT_s+t_0\)时刻上（\(t_0\)是信道和接收机滤波器所造成的延时）对\(r(t)\)进行抽样，即

\[\begin{align} r(kT_s+t_0) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n h[ (k-n)T_s + t_0 ] + n_R(kT_s+t_0) \nonumber \\ & = a_k h( t_0 ) + \sum_{n \neq k } a_n h[ (k-n)T_s + t_0 ] + n_R(kT_s+t_0) \label{eq:1} \end{align}\]

此时，\eqref{eq:1}实际抽样值\(r(kT_s+t_0)\)不仅有本码元的值，还有码间串扰和噪声。显然，只有当码间串扰和噪声足够小时，才能保证上述判决的正确。
若想消除码间串扰，应使

\[\sum_{n \neq k } a_n h[ (k-n)T_s + t_0 ] =0. \]

由于\(a_n\)是随机不可控的，想要通过各项相消使上式为0是无法实现的。那么只能对\(h(t)\)进行加工。这里有两个方案

• a). 如果相邻码元的前一个码元到后一个码元抽样的时刻刚好衰减为0，就能满足要求。但是由于一般\(h(t)\)都有很长的拖尾，该方案不易实现。
• b). 只要让\(h(t)\)在\(T_s+t_0\), \(2T_s+t_0\), ... 等后续码元抽样时刻上刚好为0，就能消除码间串扰。这就是消除码间串扰的基本思想。

于是，只要让\(h(t)\)在本码元抽样时刻上有最大值，在其他码元抽样时刻为0，即可消除码间串扰。Without loss of generality, we set \(t_0=0\) here. 则有下式成立

\[h(kT_s) = \left\{ \begin{array}{rll} & 1 &, k=0 \\ & 0 & , k \neq 0 \end{array} \right. , \]

该式被成为无码间串扰的时域条件。 其频域特性\(H(\omega)\)则为

\[\sum_i H(\omega + \frac{i2\pi}{T_s}) = T_s, |\omega| \leq \frac{\pi}{T_s} $$. 该式被成为*奈奎斯特（Nyquist）第一准则*。它为我们提供了一个检验某特定传输特性$H(\omega)$是否产生码间串扰的一种方法。凡是满足该奈奎斯特（Nyquist）第一准则的，均能消除码间串扰。 需要注意的是满足该奈奎斯特（Nyquist）第一准则的$H(\omega)$并不是唯一的，怎样设计合适的$H(\omega)$是我们需要研究的问题。 ### 理想低通滤波器 很容易想到的一种满足该奈奎斯特（Nyquist）第一准则的情况，就是理想低通滤波器。其传输函数为， $$H(\omega) = \left\{ \begin{array}{rll} & T_s &, |\omega| \leq \frac{\pi}{T_s} \\ & 0 & , |\omega| > \frac{\pi}{T_s} \end{array} \right. , \]

其时域冲击响应\(h(t)\)为

\[h(t) = \frac{\sin ( \frac{\pi}{T_s}t)}{\frac{\pi}{T_s}t} = \sinc( \frac{\pi}{T_s}t ) . \]

• a) 理想低通物理上无法实现。
• b) 理想特性的冲击响应\(h(t)\)的“尾巴”振幅很大（衰减较慢）。如果定时（抽样时刻）稍有偏差，就会出现严重的码间串扰。

余弦滚降整形滤波器

\[H(f)={\begin{cases}T,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {T}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\mbox{otherwise}}\end{cases}} \]

\[h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4}}\;\mathrm {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\mbox{otherwise}}\end{cases}} \]

The roll-off factor, \(\beta\), is a measure of the excess bandwidth of the filter, i.e. the bandwidth occupied beyond the Nyquist bandwidth of \(\frac {1}{2T_s}\). Some authors use \(\alpha =\beta\).

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figure
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xlim([25, 55])

参考文献:

1. 通信原理（第6版） 樊昌信 曹丽娜
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Raised-cosine_filter
   外加一些有趣的博客：

http://blog.csdn.net/mike190267481/article/details/7264827
http://blog.csdn.net/madongchunqiu/article/details/18614233