本章是克鲁斯卡尔算法的C++实现。
目录
1. 最小生成树
2. 克鲁斯卡尔算法介绍
3. 克鲁斯卡尔算法图解
4. 克鲁斯卡尔算法分析
5. 克鲁斯卡尔算法的代码说明
6. 克鲁斯卡尔算法的源码转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/skywang12345/
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最小生成树
在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法介绍
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路。
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止。
克鲁斯卡尔算法图解
以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。
第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"(关于这一点，后面会通过图片给出说明)。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。 以下图来进行说明：
在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。
关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。 因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的重点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。
克鲁斯卡尔算法的代码说明
有了前面的算法分析之后，下面我们来查看具体代码。这里选取"邻接矩阵"进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面的源码中会给出相应的源码。
1. 基本定义
// 边的结构体
class EData
{
public:
char start; // 边的起点
char end; // 边的终点
int weight; // 边的权重
public:
EData(){}
EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){}
};
EData是邻接矩阵边对应的结构体。
class MatrixUDG {
#define MAX 100
#define INF (~(0x1<<31)) // 无穷大(即0X7FFFFFFF)
private:
char mVexs[MAX]; // 顶点集合
int mVexNum; // 顶点数
int mEdgNum; // 边数
int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
public:
// 创建图(自己输入数据)
MatrixUDG();
// 创建图(用已提供的矩阵)
//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
~MatrixUDG();
// 深度优先搜索遍历图
void DFS();
// 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
void BFS();
// prim最小生成树(从start开始生成最小生成树)
void prim(int start);
// 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
void kruskal();
// 打印矩阵队列图
void print();
private:
// 读取一个输入字符
char readChar();
// 返回ch在mMatrix矩阵中的位置
int getPosition(char ch);
// 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
int firstVertex(int v);
// 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
int nextVertex(int v, int w);
// 深度优先搜索遍历图的递归实现
void DFS(int i, int *visited);
// 获取图中的边
EData* getEdges();
// 对边按照权值大小进行排序(由小到大)
void sortEdges(EData* edges, int elen);
// 获取i的终点
int getEnd(int vends[], int i);
};
MatrixUDG是邻接矩阵对应的结构体。
mVexs用于保存顶点，mVexNum是顶点数，mEdgNum是边数；mMatrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，mMatrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即mVexs[i])"和"顶点j(即mVexs[j])"是邻接点；mMatrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。
2. 克鲁斯卡尔算法
/*
* 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
*/
void MatrixUDG::kruskal()
{
int i,m,n,p1,p2;
int length;
int index = 0; // rets数组的索引
int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
EData *edges; // 图对应的所有边
// 获取"图中所有的边"
edges = getEdges();
// 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges, mEdgNum);
for (i=0; i<mEdgNum; i++)
{
p1 = getPosition(edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号
p2 = getPosition(edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号
m = getEnd(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点
n = getEnd(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点
// 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路
if (m != n)
{
vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n
rets[index++] = edges[i]; // 保存结果
}
}
delete[] edges;
// 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息
length = 0;
for (i = 0; i < index; i++)
length += rets[i].weight;
cout << "Kruskal=" << length << ": ";
for (i = 0; i < index; i++)
cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") ";
cout << endl;
}
克鲁斯卡尔算法的源码
这里分别给出"邻接矩阵图"和"邻接表图"的克鲁斯卡尔算法源码。
