概要
本章介绍排序算法中的归并排序。内容包括：
1. 归并排序介绍
2. 归并排序图文说明
3. 归并排序的时间复杂度和稳定性
4. 归并排序实现
4.1 归并排序C实现
4.2 归并排序C++实现
4.3 归并排序Java实现
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更多排序和算法请参考：数据结构与算法系列 目录
归并排序介绍
将两个的有序数列合并成一个有序数列，我们称之为"归并"。
归并排序(Merge Sort)就是利用归并思想对数列进行排序。根据具体的实现，归并排序包括"从上往下"和"从下往上"2种方式。
1. 从下往上的归并排序：将待排序的数列分成若干个长度为1的子数列，然后将这些数列两两合并；得到若干个长度为2的有序数列，再将这些数列两两合并；得到若干个长度为4的有序数列，再将它们两两合并；直接合并成一个数列为止。这样就得到了我们想要的排序结果。(参考下面的图片)
2. 从上往下的归并排序：它与"从下往上"在排序上是反方向的。它基本包括3步：
① 分解 -- 将当前区间一分为二，即求分裂点 mid = (low + high)/2;
② 求解 -- 递归地对两个子区间a[low...mid] 和 a[mid+1...high]进行归并排序。递归的终结条件是子区间长度为1。
③ 合并 -- 将已排序的两个子区间a[low...mid]和 a[mid+1...high]归并为一个有序的区间a[low...high]。
下面的图片很清晰的反映了"从下往上"和"从上往下"的归并排序的区别。
归并排序图文说明
归并排序(从上往下)代码
/* * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个 * * 参数说明： * a -- 包含两个有序区间的数组 * start -- 第1个有序区间的起始地址。 * mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。 * end -- 第2个有序区间的结束地址。 */ void merge(int a[], int start, int mid, int end) { int *tmp = (int *)malloc((end-start+1)*sizeof(int)); // tmp是汇总2个有序区的临时区域 int i = start; // 第1个有序区的索引 int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引 int k = 0; // 临时区域的索引 while(i <= mid && j <= end) { if (a[i] <= a[j]) tmp[k++] = a[i++]; else tmp[k++] = a[j++]; } while(i <= mid) tmp[k++] = a[i++]; while(j <= end) tmp[k++] = a[j++]; // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。 for (i = 0; i < k; i++) a[start + i] = tmp[i]; free(tmp); } /* * 归并排序(从上往下) * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * start -- 数组的起始地址 * endi -- 数组的结束地址 */ void merge_sort_up2down(int a[], int start, int end) { if(a==NULL || start >= end) return ; int mid = (end + start)/2; merge_sort_up2down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid] merge_sort_up2down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end] // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间， // 将它们排序成一个有序空间a[start...end] merge(a, start, mid, end); }
从上往下的归并排序采用了递归的方式实现。它的原理非常简单，如下图：
通过"从上往下的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{80,30,60,40}和{20,10,50,70}组成。对两个有序子树组进行排序即可。
2. 将子数组{80,30,60,40}看作由两个有序的子数组{80,30}和{60,40}组成。
将子数组{20,10,50,70}看作由两个有序的子数组{20,10}和{50,70}组成。
3. 将子数组{80,30}看作由两个有序的子数组{80}和{30}组成。
将子数组{60,40}看作由两个有序的子数组{60}和{40}组成。
将子数组{20,10}看作由两个有序的子数组{20}和{10}组成。
将子数组{50,70}看作由两个有序的子数组{50}和{70}组成。
归并排序(从下往上)代码
/* * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组； * 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * len -- 数组的长度 * gap -- 子数组的长度 */ void merge_groups(int a[], int len, int gap) { int i; int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度 // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap)) { merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1); } // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。 // 将该子数组合并到已排序的数组中。 if ( i+gap-1 < len-1) { merge(a, i, i + gap - 1, len - 1); } } /* * 归并排序(从下往上) * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * len -- 数组的长度 */ void merge_sort_down2up(int a[], int len) { int n; if (a==NULL || len<=0) return ; for(n = 1; n < len; n*=2) merge_groups(a, len, n); }
从下往上的归并排序的思想正好与"从下往上的归并排序"相反。如下图：
通过"从下往上的归并排序"来对数组{80,30,60,40,20,10,50,70}进行排序时：
1. 将数组{80,30,60,40,20,10,50,70}看作由8个有序的子数组{80},{30},{60},{40},{20},{10},{50}和{70}组成。
2. 将这8个有序的子数列两两合并。得到4个有序的子树列{30,80},{40,60},{10,20}和{50,70}。
3. 将这4个有序的子数列两两合并。得到2个有序的子树列{30,40,60,80}和{10,20,50,70}。
4. 将这2个有序的子数列两两合并。得到1个有序的子树列{10,20,30,40,50,60,70,80}。
归并排序的时间复杂度和稳定性
归并排序时间复杂度
归并排序的时间复杂度是O(N*lgN)。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
归并排序的形式就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的可以得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。
归并排序稳定性
归并排序是稳定的算法，它满足稳定算法的定义。
算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！
归并排序实现
下面给出归并排序的三种实现：C、C++和Java。这三种实现的原理和输出结果都是一样的，每一种实现中都包括了"从上往下的归并排序"和"从下往上的归并排序"这2种形式。
归并排序C实现
实现代码(merge_sort.c)
1 /** 2 * 归并排序：C 语言 3 * 4 * @author skywang 5 * @date 2014/03/12 6 */ 7 8 #include <stdio.h> 9 #include <stdlib.h> 10 11 // 数组长度 12 #define LENGTH(array) ( (sizeof(array)) / (sizeof(array[0])) ) 13 14 /* 15 * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个 16 * 17 * 参数说明： 18 * a -- 包含两个有序区间的数组 19 * start -- 第1个有序区间的起始地址。 20 * mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。 21 * end -- 第2个有序区间的结束地址。 22 */ 23 void merge(int a[], int start, int mid, int end) 24 { 25 int *tmp = (int *)malloc((end-start+1)*sizeof(int)); // tmp是汇总2个有序区的临时区域 26 int i = start; // 第1个有序区的索引 27 int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引 28 int k = 0; // 临时区域的索引 29 30 while(i <= mid && j <= end) 31 { 32 if (a[i] <= a[j]) 33 tmp[k++] = a[i++]; 34 else 35 tmp[k++] = a[j++]; 36 } 37 38 while(i <= mid) 39 tmp[k++] = a[i++]; 40 41 while(j <= end) 42 tmp[k++] = a[j++]; 43 44 // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。 45 for (i = 0; i < k; i++) 46 a[start + i] = tmp[i]; 47 48 free(tmp); 49 } 50 51 /* 52 * 归并排序(从上往下) 53 * 54 * 参数说明： 55 * a -- 待排序的数组 56 * start -- 数组的起始地址 57 * endi -- 数组的结束地址 58 */ 59 void merge_sort_up2down(int a[], int start, int end) 60 { 61 if(a==NULL || start >= end) 62 return ; 63 64 int mid = (end + start)/2; 65 merge_sort_up2down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid] 66 merge_sort_up2down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end] 67 68 // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间， 69 // 将它们排序成一个有序空间a[start...end] 70 merge(a, start, mid, end); 71 } 72 73 74 /* 75 * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组； 76 * 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 77 * 78 * 参数说明： 79 * a -- 待排序的数组 80 * len -- 数组的长度 81 * gap -- 子数组的长度 82 */ 83 void merge_groups(int a[], int len, int gap) 84 { 85 int i; 86 int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度 87 88 // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 89 for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap)) 90 { 91 merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1); 92 } 93 94 // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。 95 // 将该子数组合并到已排序的数组中。 96 if ( i+gap-1 < len-1) 97 { 98 merge(a, i, i + gap - 1, len - 1); 99 } 100 } 101 102 /* 103 * 归并排序(从下往上) 104 * 105 * 参数说明： 106 * a -- 待排序的数组 107 * len -- 数组的长度 108 */ 109 void merge_sort_down2up(int a[], int len) 110 { 111 int n; 112 113 if (a==NULL || len<=0) 114 return ; 115 116 for(n = 1; n < len; n*=2) 117 merge_groups(a, len, n); 118 } 119 120 void main() 121 { 122 int i; 123 int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70}; 124 int ilen = LENGTH(a); 125 126 printf("before sort:"); 127 for (i=0; i<ilen; i++) 128 printf("%d ", a[i]); 129 printf("\n"); 130 131 merge_sort_up2down(a, 0, ilen-1); // 归并排序(从上往下) 132 //merge_sort_down2up(a, ilen); // 归并排序(从下往上) 133 134 printf("after sort:"); 135 for (i=0; i<ilen; i++) 136 printf("%d ", a[i]); 137 printf("\n"); 138 }
1 /** 2 * 归并排序：C++ 3 * 4 * @author skywang 5 * @date 2014/03/12 6 */ 7 8 #include <iostream> 9 using namespace std; 10 11 /* 12 * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个 13 * 14 * 参数说明： 15 * a -- 包含两个有序区间的数组 16 * start -- 第1个有序区间的起始地址。 17 * mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。 18 * end -- 第2个有序区间的结束地址。 19 */ 20 void merge(int* a, int start, int mid, int end) 21 { 22 int *tmp = new int[end-start+1]; // tmp是汇总2个有序区的临时区域 23 int i = start; // 第1个有序区的索引 24 int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引 25 int k = 0; // 临时区域的索引 26 27 while(i <= mid && j <= end) 28 { 29 if (a[i] <= a[j]) 30 tmp[k++] = a[i++]; 31 else 32 tmp[k++] = a[j++]; 33 } 34 35 while(i <= mid) 36 tmp[k++] = a[i++]; 37 38 while(j <= end) 39 tmp[k++] = a[j++]; 40 41 // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。 42 for (i = 0; i < k; i++) 43 a[start + i] = tmp[i]; 44 45 delete[] tmp; 46 } 47 48 /* 49 * 归并排序(从上往下) 50 * 51 * 参数说明： 52 * a -- 待排序的数组 53 * start -- 数组的起始地址 54 * endi -- 数组的结束地址 55 */ 56 void mergeSortUp2Down(int* a, int start, int end) 57 { 58 if(a==NULL || start >= end) 59 return ; 60 61 int mid = (end + start)/2; 62 mergeSortUp2Down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid] 63 mergeSortUp2Down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end] 64 65 // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间， 66 // 将它们排序成一个有序空间a[start...end] 67 merge(a, start, mid, end); 68 } 69 70 71 /* 72 * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组； 73 * 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 74 * 75 * 参数说明： 76 * a -- 待排序的数组 77 * len -- 数组的长度 78 * gap -- 子数组的长度 79 */ 80 void mergeGroups(int* a, int len, int gap) 81 { 82 int i; 83 int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度 84 85 // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 86 for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap)) 87 { 88 merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1); 89 } 90 91 // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。 92 // 将该子数组合并到已排序的数组中。 93 if ( i+gap-1 < len-1) 94 { 95 merge(a, i, i + gap - 1, len - 1); 96 } 97 } 98 99 /* 100 * 归并排序(从下往上) 101 * 102 * 参数说明： 103 * a -- 待排序的数组 104 * len -- 数组的长度 105 */ 106 void mergeSortDown2Up(int* a, int len) 107 { 108 int n; 109 110 if (a==NULL || len<=0) 111 return ; 112 113 for(n = 1; n < len; n*=2) 114 mergeGroups(a, len, n); 115 } 116 117 int main() 118 { 119 int i; 120 int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70}; 121 int ilen = (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])); 122 123 cout << "before sort:"; 124 for (i=0; i<ilen; i++) 125 cout << a[i] << " "; 126 cout << endl; 127 128 mergeSortUp2Down(a, 0, ilen-1); // 归并排序(从上往下) 129 //mergeSortDown2Up(a, ilen); // 归并排序(从下往上) 130 131 cout << "after sort:"; 132 for (i=0; i<ilen; i++) 133 cout << a[i] << " "; 134 cout << endl; 135 136 return 0; 137 }
归并排序Java实现
实现代码(MergeSort.java)
1 /** 2 * 归并排序：Java 3 * 4 * @author skywang 5 * @date 2014/03/12 6 */ 7 8 public class MergeSort { 9 10 /* 11 * 将一个数组中的两个相邻有序区间合并成一个 12 * 13 * 参数说明： 14 * a -- 包含两个有序区间的数组 15 * start -- 第1个有序区间的起始地址。 16 * mid -- 第1个有序区间的结束地址。也是第2个有序区间的起始地址。 17 * end -- 第2个有序区间的结束地址。 18 */ 19 public static void merge(int[] a, int start, int mid, int end) { 20 int[] tmp = new int[end-start+1]; // tmp是汇总2个有序区的临时区域 21 int i = start; // 第1个有序区的索引 22 int j = mid + 1; // 第2个有序区的索引 23 int k = 0; // 临时区域的索引 24 25 while(i <= mid && j <= end) { 26 if (a[i] <= a[j]) 27 tmp[k++] = a[i++]; 28 else 29 tmp[k++] = a[j++]; 30 } 31 32 while(i <= mid) 33 tmp[k++] = a[i++]; 34 35 while(j <= end) 36 tmp[k++] = a[j++]; 37 38 // 将排序后的元素，全部都整合到数组a中。 39 for (i = 0; i < k; i++) 40 a[start + i] = tmp[i]; 41 42 tmp=null; 43 } 44 45 /* 46 * 归并排序(从上往下) 47 * 48 * 参数说明： 49 * a -- 待排序的数组 50 * start -- 数组的起始地址 51 * endi -- 数组的结束地址 52 */ 53 public static void mergeSortUp2Down(int[] a, int start, int end) { 54 if(a==null || start >= end) 55 return ; 56 57 int mid = (end + start)/2; 58 mergeSortUp2Down(a, start, mid); // 递归排序a[start...mid] 59 mergeSortUp2Down(a, mid+1, end); // 递归排序a[mid+1...end] 60 61 // a[start...mid] 和 a[mid...end]是两个有序空间， 62 // 将它们排序成一个有序空间a[start...end] 63 merge(a, start, mid, end); 64 } 65 66 67 /* 68 * 对数组a做若干次合并：数组a的总长度为len，将它分为若干个长度为gap的子数组； 69 * 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 70 * 71 * 参数说明： 72 * a -- 待排序的数组 73 * len -- 数组的长度 74 * gap -- 子数组的长度 75 */ 76 public static void mergeGroups(int[] a, int len, int gap) { 77 int i; 78 int twolen = 2 * gap; // 两个相邻的子数组的长度 79 80 // 将"每2个相邻的子数组" 进行合并排序。 81 for(i = 0; i+2*gap-1 < len; i+=(2*gap)) 82 merge(a, i, i+gap-1, i+2*gap-1); 83 84 // 若 i+gap-1 < len-1，则剩余一个子数组没有配对。 85 // 将该子数组合并到已排序的数组中。 86 if ( i+gap-1 < len-1) 87 merge(a, i, i + gap - 1, len - 1); 88 } 89 90 /* 91 * 归并排序(从下往上) 92 * 93 * 参数说明： 94 * a -- 待排序的数组 95 */ 96 public static void mergeSortDown2Up(int[] a) { 97 if (a==null) 98 return ; 99 100 for(int n = 1; n < a.length; n*=2) 101 mergeGroups(a, a.length, n); 102 } 103 104 public static void main(String[] args) { 105 int i; 106 int a[] = {80,30,60,40,20,10,50,70}; 107 108 System.out.printf("before sort:"); 109 for (i=0; i<a.length; i++) 110 System.out.printf("%d ", a[i]); 111 System.out.printf("\n"); 112 113 mergeSortUp2Down(a, 0, a.length-1); // 归并排序(从上往下) 114 //mergeSortDown2Up(a); // 归并排序(从下往上) 115 116 System.out.printf("after sort:"); 117 for (i=0; i<a.length; i++) 118 System.out.printf("%d ", a[i]); 119 System.out.printf("\n"); 120 } 121 }
上面3种实现的原理和输出结果都是一样的。下面是它们的输出结果：
before sort:80 30 60 40 20 10 50 70
after sort:10 20 30 40 50 60 70 80
