二叉查找树(Binary Search Tree)，又被称为二叉搜索树。
它是特殊的二叉树：对于二叉树，假设x为二叉树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。那么，这棵树就是二叉查找树。如下图所示：

在二叉查找树中：
(01) 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
(02) 任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
(03) 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
(04) 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。

二叉查找树的Java实现

1. 二叉查找树节点的定义

public class BSTree<T extends Comparable<T>> {

    private BSTNode<T> mRoot;    // 根结点

    public class BSTNode<T extends Comparable<T>> {
        T key;                // 关键字(键值)
        BSTNode<T> left;      // 左孩子
        BSTNode<T> right;     // 右孩子
        BSTNode<T> parent;    // 父结点

        public BSTNode(T key, BSTNode<T> parent, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) {
            this.key = key;
            this.parent = parent;
            this.left = left;
            this.right = right;
        }
    }

        ......
}

BSTree是二叉树，它保护了二叉树的根节点mRoot；mRoot是BSTNode类型，而BSTNode是二叉查找树的节点，它是BSTree的内部类。BSTNode包含二叉查找树的几个基本信息：
(01) key -- 它是关键字，是用来对二叉查找树的节点进行排序的。
(02) left -- 它指向当前节点的左孩子。
(03) right -- 它指向当前节点的右孩子。
(04) parent -- 它指向当前节点的父结点。

2 遍历

这里讲解前序遍历、中序遍历、后序遍历3种方式。

2.1 前序遍历
若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 访问根结点；
(02) 先序遍历左子树；
(03) 先序遍历右子树。

前序遍历代码

private void preOrder(BSTNode<T> tree) {
    if(tree != null) {
        System.out.print(tree.key+" ");
        preOrder(tree.left);
        preOrder(tree.right);
    }
}

public void preOrder() {
    preOrder(mRoot);
}

2.2 中序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 中序遍历左子树；
(02) 访问根结点；
(03) 中序遍历右子树。

中序遍历代码

private void inOrder(BSTNode<T> tree) {
    if(tree != null) {
        inOrder(tree.left);
        System.out.print(tree.key+" ");
        inOrder(tree.right);
    }
}

public void inOrder() {
    inOrder(mRoot);
}

2.3 后序遍历

若二叉树非空，则执行以下操作：
(01) 后序遍历左子树；
(02) 后序遍历右子树；
(03) 访问根结点。

后序遍历代码

private void postOrder(BSTNode<T> tree) {
    if(tree != null)
    {
        postOrder(tree.left);
        postOrder(tree.right);
        System.out.print(tree.key+" ");
    }
}

public void postOrder() {
    postOrder(mRoot);
}

看看下面这颗树的各种遍历方式：

对于上面的二叉树而言，
(01) 前序遍历结果： 3 1 2 5 4 6
(02) 中序遍历结果： 1 2 3 4 5 6
(03) 后序遍历结果： 2 1 4 6 5 3

3. 查找

递归版本的代码

/*
 * (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
 */
private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) {
    if (x==null)
        return x;

    int cmp = key.compareTo(x.key);
    if (cmp < 0)
        return search(x.left, key);
    else if (cmp > 0)
        return search(x.right, key);
    else
        return x;
}

public BSTNode<T> search(T key) {
    return search(mRoot, key);
}

非递归版本的代码

/*
 * (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
 */
private BSTNode<T> iterativeSearch(BSTNode<T> x, T key) {
    while (x!=null) {
        int cmp = key.compareTo(x.key);

        if (cmp < 0) 
            x = x.left;
        else if (cmp > 0) 
            x = x.right;
        else
            return x;
    }

    return x;
}

public BSTNode<T> iterativeSearch(T key) {
    return iterativeSearch(mRoot, key);
}

4. 最大值和最小值

查找最大值的代码

/* 
 * 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。
 */
private BSTNode<T> maximum(BSTNode<T> tree) {
    if (tree == null)
        return null;

    while(tree.right != null)
        tree = tree.right;
    return tree;
}

public T maximum() {
    BSTNode<T> p = maximum(mRoot);
    if (p != null)
        return p.key;

    return null;
}

查找最小值的代码

/* 
 * 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。
 */
private BSTNode<T> minimum(BSTNode<T> tree) {
    if (tree == null)
        return null;

    while(tree.left != null)
        tree = tree.left;
    return tree;
}

public T minimum() {
    BSTNode<T> p = minimum(mRoot);
    if (p != null)
        return p.key;

    return null;
}

5. 前驱和后继

节点的前驱：是该节点的左子树中的最大节点。
节点的后继：是该节点的右子树中的最小节点。

查找前驱节点的代码

/* 
 * 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。
 */
public BSTNode<T> predecessor(BSTNode<T> x) {
    // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
    if (x.left != null)
        return maximum(x.left);

    // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：
    // (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。
    // (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。
    BSTNode<T> y = x.parent;
    while ((y!=null) && (x==y.left)) {
        x = y;
        y = y.parent;
    }

    return y;
}

查找后继节点的代码

/* 
 * 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。
 */
public BSTNode<T> successor(BSTNode<T> x) {
    // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
    if (x.right != null)
        return minimum(x.right);

    // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：
    // (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。
    // (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。
    BSTNode<T> y = x.parent;
    while ((y!=null) && (x==y.right)) {
        x = y;
        y = y.parent;
    }

    return y;
}

6. 插入

插入节点的代码

/* 
 * 将结点插入到二叉树中
 *
 * 参数说明：
 *     tree 二叉树的
 *     z 插入的结点
 */
private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
    int cmp;
    BSTNode<T> y = null;
    BSTNode<T> x = bst.mRoot;

    // 查找z的插入位置
    while (x != null) {
        y = x;
        cmp = z.key.compareTo(x.key);
        if (cmp < 0)
            x = x.left;
        else
            x = x.right;
    }

    z.parent = y;
    if (y==null)
        bst.mRoot = z;
    else {
        cmp = z.key.compareTo(y.key);
        if (cmp < 0)
            y.left = z;
        else
            y.right = z;
    }
}

/* 
 * 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中
 *
 * 参数说明：
 *     tree 二叉树的根结点
 *     key 插入结点的键值
 */
public void insert(T key) {
    BSTNode<T> z=new BSTNode<T>(key,null,null,null);

    // 如果新建结点失败，则返回。
    if (z != null)
        insert(this, z);
}

注：本文实现的二叉查找树是允许插入相同键值的节点的。若想禁止二叉查找树中插入相同键值的节点，可以参考"二叉查找树(一)之图文解析和 C语言的实现"中的插入函数进行修改。

7. 删除

删除节点的代码

/* 
 * 删除结点(z)，并返回被删除的结点
 *
 * 参数说明：
 *     bst 二叉树
 *     z 删除的结点
 */
private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
    BSTNode<T> x=null;
    BSTNode<T> y=null;

    if ((z.left == null) || (z.right == null) )
        y = z;
    else
        y = successor(z);

    if (y.left != null)
        x = y.left;
    else
        x = y.right;

    if (x != null)
        x.parent = y.parent;

    if (y.parent == null)
        bst.mRoot = x;
    else if (y == y.parent.left)
        y.parent.left = x;
    else
        y.parent.right = x;

    if (y != z) 
        z.key = y.key;

    return y;
}

/* 
 * 删除结点(z)，并返回被删除的结点
 *
 * 参数说明：
 *     tree 二叉树的根结点
 *     z 删除的结点
 */
public void remove(T key) {
    BSTNode<T> z, node; 

    if ((z = search(mRoot, key)) != null)
        if ( (node = remove(this, z)) != null)
            node = null;
}

8. 打印

打印二叉查找树的代码

/*
 * 打印"二叉查找树"
 *
 * key        -- 节点的键值 
 * direction  --  0，表示该节点是根节点;
 *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
 *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
 */
private void print(BSTNode<T> tree, T key, int direction) {

    if(tree != null) {

        if(direction==0)    // tree是根节点
            System.out.printf("%2d is root\n", tree.key);
        else                // tree是分支节点
            System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left");

        print(tree.left, tree.key, -1);
        print(tree.right,tree.key,  1);
    }
}

public void print() {
    if (mRoot != null)
        print(mRoot, mRoot.key, 0);
}

9. 销毁

销毁二叉查找树的代码

/*
 * 销毁二叉树
 */
private void destroy(BSTNode<T> tree) {
    if (tree==null)
        return ;

    if (tree.left != null)
        destroy(tree.left);
    if (tree.right != null)
        destroy(tree.right);

    tree=null;
}

public void clear() {
    destroy(mRoot);
    mRoot = null;
}

完整的实现代码
二叉查找树的Java实现文件(BSTree.java)

  1 /**
  2  * Java 语言: 二叉查找树
  3  *
  4  * @author skywang
  5  * @date 2013/11/07
  6  */
  7 
  8 public class BSTree<T extends Comparable<T>> {
  9 
 10     private BSTNode<T> mRoot;    // 根结点
 11 
 12     public class BSTNode<T extends Comparable<T>> {
 13         T key;                // 关键字(键值)
 14         BSTNode<T> left;    // 左孩子
 15         BSTNode<T> right;    // 右孩子
 16         BSTNode<T> parent;    // 父结点
 17 
 18         public BSTNode(T key, BSTNode<T> parent, BSTNode<T> left, BSTNode<T> right) {
 19             this.key = key;
 20             this.parent = parent;
 21             this.left = left;
 22             this.right = right;
 23         }
 24 
 25         public T getKey() {
 26             return key;
 27         }
 28 
 29         public String toString() {
 30             return "key:"+key;
 31         }
 32     }
 33 
 34     public BSTree() {
 35         mRoot=null;
 36     }
 37 
 38     /*
 39      * 前序遍历"二叉树"
 40      */
 41     private void preOrder(BSTNode<T> tree) {
 42         if(tree != null) {
 43             System.out.print(tree.key+" ");
 44             preOrder(tree.left);
 45             preOrder(tree.right);
 46         }
 47     }
 48 
 49     public void preOrder() {
 50         preOrder(mRoot);
 51     }
 52 
 53     /*
 54      * 中序遍历"二叉树"
 55      */
 56     private void inOrder(BSTNode<T> tree) {
 57         if(tree != null) {
 58             inOrder(tree.left);
 59             System.out.print(tree.key+" ");
 60             inOrder(tree.right);
 61         }
 62     }
 63 
 64     public void inOrder() {
 65         inOrder(mRoot);
 66     }
 67 
 68 
 69     /*
 70      * 后序遍历"二叉树"
 71      */
 72     private void postOrder(BSTNode<T> tree) {
 73         if(tree != null)
 74         {
 75             postOrder(tree.left);
 76             postOrder(tree.right);
 77             System.out.print(tree.key+" ");
 78         }
 79     }
 80 
 81     public void postOrder() {
 82         postOrder(mRoot);
 83     }
 84 
 85 
 86     /*
 87      * (递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
 88      */
 89     private BSTNode<T> search(BSTNode<T> x, T key) {
 90         if (x==null)
 91             return x;
 92 
 93         int cmp = key.compareTo(x.key);
 94         if (cmp < 0)
 95             return search(x.left, key);
 96         else if (cmp > 0)
 97             return search(x.right, key);
 98         else
 99             return x;
100     }
101 
102     public BSTNode<T> search(T key) {
103         return search(mRoot, key);
104     }
105 
106     /*
107      * (非递归实现)查找"二叉树x"中键值为key的节点
108      */
109     private BSTNode<T> iterativeSearch(BSTNode<T> x, T key) {
110         while (x!=null) {
111             int cmp = key.compareTo(x.key);
112 
113             if (cmp < 0) 
114                 x = x.left;
115             else if (cmp > 0) 
116                 x = x.right;
117             else
118                 return x;
119         }
120 
121         return x;
122     }
123 
124     public BSTNode<T> iterativeSearch(T key) {
125         return iterativeSearch(mRoot, key);
126     }
127 
128     /* 
129      * 查找最小结点：返回tree为根结点的二叉树的最小结点。
130      */
131     private BSTNode<T> minimum(BSTNode<T> tree) {
132         if (tree == null)
133             return null;
134 
135         while(tree.left != null)
136             tree = tree.left;
137         return tree;
138     }
139 
140     public T minimum() {
141         BSTNode<T> p = minimum(mRoot);
142         if (p != null)
143             return p.key;
144 
145         return null;
146     }
147      
148     /* 
149      * 查找最大结点：返回tree为根结点的二叉树的最大结点。
150      */
151     private BSTNode<T> maximum(BSTNode<T> tree) {
152         if (tree == null)
153             return null;
154 
155         while(tree.right != null)
156             tree = tree.right;
157         return tree;
158     }
159 
160     public T maximum() {
161         BSTNode<T> p = maximum(mRoot);
162         if (p != null)
163             return p.key;
164 
165         return null;
166     }
167 
168     /* 
169      * 找结点(x)的后继结点。即，查找"二叉树中数据值大于该结点"的"最小结点"。
170      */
171     public BSTNode<T> successor(BSTNode<T> x) {
172         // 如果x存在右孩子，则"x的后继结点"为 "以其右孩子为根的子树的最小结点"。
173         if (x.right != null)
174             return minimum(x.right);
175 
176         // 如果x没有右孩子。则x有以下两种可能：
177         // (01) x是"一个左孩子"，则"x的后继结点"为 "它的父结点"。
178         // (02) x是"一个右孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有左孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的后继结点"。
179         BSTNode<T> y = x.parent;
180         while ((y!=null) && (x==y.right)) {
181             x = y;
182             y = y.parent;
183         }
184 
185         return y;
186     }
187      
188     /* 
189      * 找结点(x)的前驱结点。即，查找"二叉树中数据值小于该结点"的"最大结点"。
190      */
191     public BSTNode<T> predecessor(BSTNode<T> x) {
192         // 如果x存在左孩子，则"x的前驱结点"为 "以其左孩子为根的子树的最大结点"。
193         if (x.left != null)
194             return maximum(x.left);
195 
196         // 如果x没有左孩子。则x有以下两种可能：
197         // (01) x是"一个右孩子"，则"x的前驱结点"为 "它的父结点"。
198         // (01) x是"一个左孩子"，则查找"x的最低的父结点，并且该父结点要具有右孩子"，找到的这个"最低的父结点"就是"x的前驱结点"。
199         BSTNode<T> y = x.parent;
200         while ((y!=null) && (x==y.left)) {
201             x = y;
202             y = y.parent;
203         }
204 
205         return y;
206     }
207 
208     /* 
209      * 将结点插入到二叉树中
210      *
211      * 参数说明：
212      *     tree 二叉树的
213      *     z 插入的结点
214      */
215     private void insert(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
216         int cmp;
217         BSTNode<T> y = null;
218         BSTNode<T> x = bst.mRoot;
219 
220         // 查找z的插入位置
221         while (x != null) {
222             y = x;
223             cmp = z.key.compareTo(x.key);
224             if (cmp < 0)
225                 x = x.left;
226             else
227                 x = x.right;
228         }
229 
230         z.parent = y;
231         if (y==null)
232             bst.mRoot = z;
233         else {
234             cmp = z.key.compareTo(y.key);
235             if (cmp < 0)
236                 y.left = z;
237             else
238                 y.right = z;
239         }
240     }
241 
242     /* 
243      * 新建结点(key)，并将其插入到二叉树中
244      *
245      * 参数说明：
246      *     tree 二叉树的根结点
247      *     key 插入结点的键值
248      */
249     public void insert(T key) {
250         BSTNode<T> z=new BSTNode<T>(key,null,null,null);
251 
252         // 如果新建结点失败，则返回。
253         if (z != null)
254             insert(this, z);
255     }
256 
257     /* 
258      * 删除结点(z)，并返回被删除的结点
259      *
260      * 参数说明：
261      *     bst 二叉树
262      *     z 删除的结点
263      */
264     private BSTNode<T> remove(BSTree<T> bst, BSTNode<T> z) {
265         BSTNode<T> x=null;
266         BSTNode<T> y=null;
267 
268         if ((z.left == null) || (z.right == null) )
269             y = z;
270         else
271             y = successor(z);
272 
273         if (y.left != null)
274             x = y.left;
275         else
276             x = y.right;
277 
278         if (x != null)
279             x.parent = y.parent;
280 
281         if (y.parent == null)
282             bst.mRoot = x;
283         else if (y == y.parent.left)
284             y.parent.left = x;
285         else
286             y.parent.right = x;
287 
288         if (y != z) 
289             z.key = y.key;
290 
291         return y;
292     }
293 
294     /* 
295      * 删除结点(z)，并返回被删除的结点
296      *
297      * 参数说明：
298      *     tree 二叉树的根结点
299      *     z 删除的结点
300      */
301     public void remove(T key) {
302         BSTNode<T> z, node; 
303 
304         if ((z = search(mRoot, key)) != null)
305             if ( (node = remove(this, z)) != null)
306                 node = null;
307     }
308 
309     /*
310      * 销毁二叉树
311      */
312     private void destroy(BSTNode<T> tree) {
313         if (tree==null)
314             return ;
315 
316         if (tree.left != null)
317             destroy(tree.left);
318         if (tree.right != null)
319             destroy(tree.right);
320 
321         tree=null;
322     }
323 
324     public void clear() {
325         destroy(mRoot);
326         mRoot = null;
327     }
328 
329     /*
330      * 打印"二叉查找树"
331      *
332      * key        -- 节点的键值 
333      * direction  --  0，表示该节点是根节点;
334      *               -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
335      *                1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
336      */
337     private void print(BSTNode<T> tree, T key, int direction) {
338 
339         if(tree != null) {
340 
341             if(direction==0)    // tree是根节点
342                 System.out.printf("%2d is root\n", tree.key);
343             else                // tree是分支节点
344                 System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key, direction==1?"right" : "left");
345 
346             print(tree.left, tree.key, -1);
347             print(tree.right,tree.key,  1);
348         }
349     }
350 
351     public void print() {
352         if (mRoot != null)
353             print(mRoot, mRoot.key, 0);
354     }
355 }

View Code

二叉查找树的C++测试程序(BSTreeTest.java)

 1 /**
 2  * Java 语言: 二叉查找树
 3  *
 4  * @author skywang
 5  * @date 2013/11/07
 6  */
 7 public class BSTreeTest {
 8 
 9     private static final int arr[] = {1,5,4,3,2,6};
10 
11     public static void main(String[] args) {
12         int i, ilen;
13         BSTree<Integer> tree=new BSTree<Integer>();
14 
15         System.out.print("== 依次添加: ");
16         ilen = arr.length;
17         for(i=0; i<ilen; i++) {
18             System.out.print(arr[i]+" ");
19             tree.insert(arr[i]);
20         }
21 
22         System.out.print("\n== 前序遍历: ");
23         tree.preOrder();
24 
25         System.out.print("\n== 中序遍历: ");
26         tree.inOrder();
27 
28         System.out.print("\n== 后序遍历: ");
29         tree.postOrder();
30         System.out.println();
31 
32         System.out.println("== 最小值: "+ tree.minimum());
33         System.out.println("== 最大值: "+ tree.maximum());
34         System.out.println("== 树的详细信息: ");
35         tree.print();
36 
37         System.out.print("\n== 删除根节点: "+ arr[3]);
38         tree.remove(arr[3]);
39 
40         System.out.print("\n== 中序遍历: ");
41         tree.inOrder();
42         System.out.println();
43 
44         // 销毁二叉树
45         tree.clear();
46     }
47 }

View Code

在二叉查找树的Java实现中，使用了泛型，也就意味着支持任意类型；但是该类型必须要实现Comparable接口。

二叉查找树的Java测试程序

上面的BSTreeTest.java是二叉查找树树的测试程序，运行结果如下：

== 依次添加: 1 5 4 3 2 6 
== 前序遍历: 1 5 4 3 2 6 
== 中序遍历: 1 2 3 4 5 6 
== 后序遍历: 2 3 4 6 5 1 
== 最小值: 1
== 最大值: 6
== 树的详细信息: 
 1 is root
 5 is  1's  right child
 4 is  5's   left child
 3 is  4's   left child
 2 is  3's   left child
 6 is  5's  right child

== 删除根节点: 3
== 中序遍历: 1 2 4 5 6

下面对测试程序的流程进行分析！

(01) 新建"二叉查找树"root。

(02) 向二叉查找树中依次插入1,5,4,3,2,6 。如下图所示：