Timus 1013. K-based numbers. Version 3

Timus 1013. K-based numbers. Version 3 要求计算出不包括相邻的零的 N 位 K-进制数共有多少个。

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1013. K-based numbers. Version 3

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Let’s consider K-based numbers, containing exactly N digits. We define a number to be valid if its K-based notation doesn’t contain two successful zeros. For example:

• 1010230 is a valid 7-digit number;
• 1000198 is not a valid number;
• 0001235 is not a 7-digit number, it is a 4-digit number.

Given two numbers N and K, you are to calculate an amount of valid K based numbers, containing N digits.

You may assume that 2 ≤ K ≤ 10; N ≥ 2; N + K ≤ 1800.

Input

The numbers N and K in decimal notation separated by the line break.

Output

The result in decimal notation.

Sample

input	output
2 10	90

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解答如下：

 1 using System;
 2 
 3 namespace Skyiv.Ben.Timus
 4 {
 5   // http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1013
 6   sealed class T1013
 7   {
 8     static void Main()
 9     {
       int n = int.Parse(Console.ReadLine()), i = 2;
       int k = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
       BigInteger m = 0;
       for (BigInteger p = 1, q = k; i <= n; i++, p = q, q = m) m = (p + q) * k;
       Console.WriteLine(m);
     }
   }
 
   sealed class BigInteger
   {
     int[] digits = new int[1800];
 
     public BigInteger(int n)
     {
       digits[0] = n;
       if (digits[0] > 9) Format();
     }
 
     public BigInteger(BigInteger x)
     {
       Array.Copy(x.digits, digits, digits.Length);
     }
 
     public static implicit operator BigInteger(int x)
     {
       return new BigInteger(x);
     }
 
     public static BigInteger operator +(BigInteger x, BigInteger y)
     {
       BigInteger z = new BigInteger(x);
       for (int i = x.digits.Length - 1; i >= 0; i--) z.digits[i] = x.digits[i] + y.digits[i];
       z.Format();
       return z;
     }
 
     public static BigInteger operator *(BigInteger x, int y)
     {
       BigInteger z = new BigInteger(x);
       for (int i = x.digits.Length - 1; i >= 0; i--) z.digits[i] = x.digits[i] * y;
       z.Format();
       return z;
     }
 
     void Format()
     {
       for (int quotient = 0, i = 0; i < digits.Length; i++)
       {
         int numerator = digits[i] + quotient;
         quotient = numerator / 10;
         digits[i] = numerator % 10;
       }
     }
 
     public override string ToString()
     {
       int n = digits.Length - 1;
       while (n >= 0 && digits[n] == 0) n--;
       if (n < 0) return "0";
       char[] cs = new char[n + 1];
       for (int i = n; i >= 0; i--) cs[i] = (char)(digits[n - i] + '0');
       return new string(cs);
     }
   }
 }

这道题要求计算出不包括相邻的零的 N 位 K-进制数共有多少个。这里 2 ≤ K ≤ 10; N ≥ 2; N + K ≤ 1800。

我们还是开始找规律吧。右图是 K = 4，N = 3 的情况。

我们用 M_n 来表示 n 位 K-进制数的数量。从右图中可以看出：

M₂ = 12, M₃ = 45

经过仔细观察，我们假设：

M₀ = 1, M₁ = 3

然后再经过认真分析，我们得到以下规律：

M₀ = 1, M₁ = K - 1,  M_n = (K - 1) * (M_n-1 + M_n-2)  (n > 1)

在递推公式 M_n = (K - 1) * (M_n-1 + M_n-2) 中：

系数 K - 1 代表 K-进制数的最高位从 1 到 K - 1

M_n-1 代表次高位不为零的情形

M_n-2 表示次高位为零的情形

然后，对于 K = 2、K = 3 在 N 比较小的情况下验证了这个规律。

既然有了递推公式，写出相应的程序自然易如反掌。

但是，要注意，当 K = 10，N = 1790 时，M₁₇₉₀ 接近 10¹⁷⁹⁰，所以要使用 BigInteger 类来进行计算。

实际上，这个问题共有三姐妹，分别是：

1009. K-based numbers	时间限制:1.0 秒	2 ≤ K ≤ 10; N ≥ 2; N + K ≤ 18
1012. K-based numbers. Version 2	时间限制:1.0 秒	2 ≤ K ≤ 10; N ≥ 2; N + K ≤ 180
1013. K-based numbers. Version 3	时间限制:2.0 秒	2 ≤ K ≤ 10; N ≥ 2; N + K ≤ 1800

当然，上面的程序也完全适用于 Timus 1009 和 Timus 1012。

另外，对于 Timus 1009，把上面程序 Main() 方法中的第 12 和 13 行中的 BigInteger 改为 int 也完全没有问题。因为 int.MaxValue = 2,147,483,647，而我们有：

N	K	M
16	2	1,597
15	3	2,781,184
14	4	104,879,772
13	5	661,766,144
12	6	1,413,765,625
11	7	1,434,392,064
10	8	837,677,687
9	9	317,882,368
8	10	85,096,170

从上表中可以看出，Timus 1009 的输出绝对不会大于 1,434,392,064，所以使用 int 是安全的。

下面是这个程序的运行情况：

其中 ID 为 2147015 的记录就是把 BigInteger 改为 int 后的程序的运行结果，运行时间为 0.093 秒。这个结果有点奇怪，因为她比使用 BigInteger 的程序的运行时间 0.078 秒还要大。因为一般来说，用 int 进行运算应该比 BigInteger 快才对。

修改后的程序如下所示：

 1 using System;
 2 
 3 namespace Skyiv.Ben.Timus
 4 {
 5   // http://acm.timus.ru/problem.aspx?space=1&num=1009
 6   sealed class T1009
 7   {
 8     static void Main()
 9     {
       int m = 0, n = int.Parse(Console.ReadLine());
       int k = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;
       for (int i = 2, p = 1, q = k; i <= n; i++, p = q, q = m) m = (p + q) * k;
       Console.WriteLine(m);
     }
   }
 }