最短路算法————Floyd基础详解
经典的最短路算法是Dijkstra算法,但是这个算法有两点缺陷。
1.一次Dijkstra只能求单源的最短路径,如果想要求任意两点的距离,就要每一个节点都进行一次Dijkstra,很麻烦。
2.运用Dijkstra算法时,要求图中不可以有负权的边。
2是为何呢?可以看下图
利用Dijkstra算法,求1-2最短路径时,dist[1,2] = 3 但是实际上是2,即如果存在负权,就可能出现更新不了最短路的问题。严格证明不知道...举反例看看吧..
为了解决上述两个问题,引出了另一个算法,Floyd算法。
本质是一种动态规划的思想。
(注意上图中所说的几个只要满足 nodenum < k 即可,没有固定的个数)
这样一来,状态转移方程就有了:
那么自然而然给出伪代码:
<span style="font-family:Microsoft YaHei;font-size:14px;">Floyd: for(int i = 0 ; i < vertices ; ++i) for(int j = 0 ; j < vertices ; ++j) distance[i][j] = cost[i][j]; for(int k = 0 ; k < vertices ; ++k) for(int i = 0 ; i < vertices ; ++i) for(int j = 0 ; j < vertices ; ++j) distance[i][j] = min(distance[i][j],distance[i][k] + distance[k][j]); /*其中k循环一定要在最外层,代表的是我们以经过第k个点为标准进行遍历*/ </span>Floyd可以求任意两点间距离,直接输出distance[start][end]即可。
但是Floyd也有它的局限性,它不可以用于存在负权环的情况存在。
如下图:
在出现上图这种情况的时候用Floyd算法distance[0][2]就不是2了,而是负无穷..
因为路径 0,1,0,1,0,1.....,0,1,2的长度可以任意的小。
这种情况下只能用Bellman—Ford算法了...