四旋翼动力学、仿真和控制
译者注：本文原址：http://andrew.gibiansky.com/blog/physics/quadcopter-dynamics/本文介绍了四旋翼的动力学和控制模型，并在matlab里进行仿真，对理解四旋翼的工作原理很有帮助。译者就读于北京航空航天大学航空科学与工程学院，转载请注明出处。
原文中只给出部分代码，且有些配置没有写明。译者对其进行了部分完善。完善部分以灰色字体标出。另外，由于本人知识水平和英语水平有限，翻译过程难免出现错误，敬请指正。
介绍
直升机是一种利用高速旋转的电机将气流向下压而提供推力并保持在空中的的飞行器。常规的直升机拥有两个电机。它们既可以配置在同一平面上共同提供升力，且转向相反（这是为了平衡飞行器上产生的力矩）。两个电机也可以配置为一个主电机用来提供升力而较小的一个配置在一旁专门平衡主电机桨产生的转矩。然而，这两种配置都需要很复杂的机械结构来控制飞行器的运动方向；主电机上必须有一个自动倾斜器用来改变主螺旋桨的攻角。为了产生一个力矩这个攻角的调节主要由两个电机在每个阶段的位置决定，因此在电机的一侧会有更多的升力产生。这种复杂的电机和自动倾斜器的设计容易产生机械故障，提高了结构成本和设计复杂度。
四旋翼直升机（四旋翼）拥有四个隔开的完全相同的电机，一般而言四个电机被安排在飞机的四个角落上。通过这四个相互独立的电机，自动倾斜器的需求就减轻了。自动倾斜器是为了使电机在角度上拥有更多的自由度，而同样级别的控制需求可以被增加的两个电机满足。
四旋翼的发展曾经一度止步不前，这是由于人们发现不利用电子设备而同时控制四个独立的电机非常困难。随着微处理器成本的降低，四旋翼通过电子设备进行控制甚至是完全自动控制变得可行，从而四旋翼可以应用在商业、军事甚至只是因为人们的兴趣上。
四旋翼的控制是一个既困难又有趣的问题。它拥有六个方向的自由度（三个位置坐标和三个角度坐标）却只有四个输入量（四个电机），是一个静不定系统。为了实现在六个方向上的运动，水平方向上的旋转和平移运动必须成对出现。因此四旋翼的动力学模型是强非线性的，尤其是在计及复杂的空气动力学影响以后。最后，不同于地面上的机器人，四旋翼拥有非常小的摩擦阻力，因此必须为他们提供阻尼从而使他们可以停止运动并保持稳定。综上所述，这些因素共同形成了一个有趣的控制难题。我们将建立一个简化的四旋翼动力学模型并为该模型设计一个控制器让我们的四旋翼能够按照指定轨道飞行，同时在使用数值仿真系统上对我们的控制器进行测试。
四旋翼动力学
我们从介绍两个将会经常用到的坐标系开始推导四旋翼的动力学模型。惯性坐标系定义在地面上，重力方向指向$z$方向的负方向。 机体坐标系定义在四旋翼上，其中电机轴指向$z$轴正方向且四旋翼的相邻两条支架指向$x$和$y$方向（两个坐标系均为左手系）。
