NYOJ311 完全背包

初始化的细节问题我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。
有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别
这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，
这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设
为0。
为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合
法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好
装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果
背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，
所以初始时状态的值也就全部为0了。

第一种方法：转化为01背包问题求解既然01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背
包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选V/c[i]件，于是可以把
第i种物品转化为V/c[i]件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样完全没有改
进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一
种物品拆成多件物品。

f[i][v] = max{ f[i - 1][v - k * c[i]] + k * w[i] } 0<= k <= v

在OJ上内存超出，但感觉应该是正确的，贴上代码：

#include <stdio.h>
#include<string.h>
const int INF=0x80000000;
int f[2005][50005];
int c[2005],v[2005];
int main()
{
    int i,j,k,n,C,N,max;
    scanf("%d",&N); 
    while(N--){
        scanf("%d%d",&n,&C);
        for(i=0;i<=n;i++){
            for(j=0;j<=C;j++)
                f[i][j]=INF;
            f[i][0]=0;
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",&c[i],&v[i]);
        for(i=1;i<=n;i++){
            for(j=0;j<=C;j++){
                int max=INF;
                for(k=0;k<=j/c[i];k++){
                    if(f[i-1][j-k*c[i]]+k*v[i]>max)
                        max=f[i-1][j-k*c[i]]+k*v[i];
                }
                f[i][j]=max;
            }
        }
        if(f[n][C]>0) printf("%d\n",f[n][C]);
        else puts("NO");
    }
    return 0;
} 

第二种方法使用滚动数组,其代码和01背包类似，仅仅是把j的递推顺序改成从小到大递推了，之所以要这样我感觉是01背包一种物品不能被选用多次，为了简化空间去掉一维空间，就需要避免

后面的上一次的f[i][j]被这次重新覆盖而对下次循环产生不正确的结果，所以要从大往小推，即从后往前推,本次的f[i][j]恰是上次的f[i-1][j]推来的，而不是本次f[i][j]得来的，而对于完全背包

问题恰好是利用了这种规律，因为一件物品可以选取多次，在推倒f[i][j]时就需要包含前面f[i][j]以达到前面物品可以被使用多次的情况！贴上AC的代码：

#include <stdio.h>
const int INF=0x80000000;
int f[50005];
int max(int a,int b){
    return a>b?a:b;
} 
int main()
{
    int i,j,n,c,v,C,N;
    scanf("%d",&N); 
    while(N--){
        scanf("%d%d",&n,&C);
        for(i=1;i<=C;i++)
            f[i]=INF;
        f[0]=0;
        for(i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d%d",&c,&v);
            for(j=c;j<=C;j++)  //从前往后递推，这样才能保证一种物品可以被使用多次 
                f[j]=max(f[j-c]+v,f[j]);
        }
        if(f[C]>0) printf("%d\n",f[C]);
        else puts("NO");
    }
    return 0;
}