算法面试题(1) - 有环链表
问题:
如何检查一个单向链表上是否有环?
解答:
1, 最简单的方法, 用一个指针遍历链表, 每遇到一个节点就把他的内存地址(java中可以用object.hashcode())做为key放在一个hashtable中. 这样当hashtable中出现重复key的时候说明此链表上有环. 这个方法的时间复杂度为O(n), 空间同样为O(n).
2, 使用反转指针的方法, 每过一个节点就把该节点的指针反向:
Boolean reverse(Node *head) {
Node *curr = head;
Node *next = head->next;
curr->next = NULL;
while(next!=NULL) {
if(next == head) { /* go back to the head of the list, so there is a loop */
next->next = curr;
return TRUE;
}
Node *temp = curr;
curr = next;
next = next->next;
curr->next = temp;
}
/* at the end of list, so there is no loop, let's reverse the list back */
next = curr->next;
curr ->next = NULL;
while(next!=NULL) {
Node *temp = curr;
curr = next;
next = next->next;
curr->next = temp;
}
return FALSE;
}
看上去这是一种奇怪的方法: 当有环的时候反转next指针会最终走到链表头部; 当没有环的时候反转next指针会破坏链表结构(使链表反向), 所以需要最后把链表再反向一次. 这种方法的空间复杂度是O(1), 实事上我们使用了3个额外指针;而时间复杂度是O(n), 我们最多2次遍历整个链表(当链表中没有环的时候).
这个方法的最大缺点是在多线程情况下不安全, 当多个线程都在读这个链表的时候, 检查环的线程会改变链表的状态, 虽然最后我们恢复了链表本身的结构, 但是不能保证其他线程能得到正确的结果.
3, 这是一般面试官所预期的答案: 快指针和慢指针
Boolean has_loop(Node *head) {
Node *pf = head; /* fast pointer */
Node *ps = head; /* slow pointer */
while(true) {
if(pf && pf->next)
pf = pf->next->next;
else
return FALSE;
ps = ps->next;
if(ps == pf)
return TRUE;
}
}
需要说明的是, 当慢指针(ps)进入环之后, 最多会走n-1步就能和快指针(pf)相遇, 其中n是环的长度. 也就是说快指针在环能不会跳过慢指针, 这个性质可以简单的用归纳法来证明. (1)当ps在环中位置i, 而pf在环中位置i-1, 则在下一个iteration, ps会和pf在i+1相遇.
(2)当ps在环中位置i, 而pf在环中位置i-2, 则在下一个iteration, ps在i+1, pf在i, 于是在下一个iteration ps和pf会相遇在i+2位置
(3)和上面推理过程类似, 当ps在i, pf在i+1, 则他们会经过n-1个iteration在i+n-1的位置相遇. 于是慢指针的步数不会超过n-1.
扩展:
这个问题还有一些扩展, 例如, 如何找到环的开始节点? 如何解开这个环? 这些问题的本质就是如何找到有"回边"的那个节点.
我们可以利用方法3的一个变形来解决这个问题:
Boolean has_loop(Node *head) {
Node *pf = head; /* fast pointer */
Node *ps = head; /* slow pointer */
while(true) { /* step 1, is there a loop? */
if(pf && pf->next)
pf = pf->next->next;
else
return FALSE;
ps = ps->next;
if(ps == pf)
break;
}
/* step 2, how long is the loop */
int i = 0;
do {
ps = ps->next;
pf = pf->next->next;
i++;
} while(ps!=pf)
/* step 3, use 2 addtional pointers with distance i to break the loop */
ps = head;
pf = head;
int j;
for(j=0; j<i; j++) { pf = pf->next; }
j = 0;
while(ps!=pf) {
ps = ps->next;
pf = pf->next;
j++;
}
printf("loop begins at position %d, node address is %x", j, ps);
/*step 4, break the loop*/
for(j=0; j<=i; j++) { ps = ps->next; } //step i-1 in the loop from loop beginning
ps->next = NULL; // break the loop
return TRUE;
}
