傅里叶级数与傅里叶变换
1.傅里叶级数
什么是傅里叶级数?
它是一种特殊形式的函数展开,将一个函数展开,用1,
傅里叶级数一般表示
可以求出3个系数:
狄利克雷(Dirichlet)定理说了什么?
它描述函数的收敛性,函数连续的地方收敛于
半幅傅里叶级数
如果函数不是周期性的,那么上面的一般表示形式不能用,但是可以展开为半幅傅里叶级数,半幅傅里叶级数有2种表现形式,分别为正弦和余弦。我的理解是因为它是半幅的,所以只需要sin或者cos就可以表示了。
正弦形式:
展开系数:
余弦的就不写了。
傅里叶积分
傅里叶积分与傅里叶级数的区别是什么?
前面2个级数分别对应周期和有限区间。傅里叶积分对应无限区间、非周期函数。
推导傅里叶积分的过程会用到绝对可积,它的的2个性质:
1.积分有限
2.当x为无穷大时,f(x)=0
原来傅里叶级数是这样的:
写成傅里叶积分是这样的:
其中:
2.傅里叶变换
公式
可以从傅里叶积分推导出傅里叶变换,这中间引入了虚数了
得到:
一些特性
1.当
这说明频谱在
2.当
这说明频谱积分给出函数在原点取值的
卷积定理
这是一个非常有用的定理:
狄拉克(δ )函数
它的两个特征:
1.
2.积分为1
它具有“筛选”性质。
它的一些性质:
1.它是偶函数
2.
参考:
顾樵. 数学物理方法[M]. 科学出版社, 2012.
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