[最不熟的两个东西]2^k进制数

【题目描述】

设r是个2^k 进制数，并满足以下条件：
（1）r至少是个2位的2^k 进制数。
（2）作为2^k进制数，除最后一位外，r的每一位严格小于它右边相邻的那一位。
（3）将r转换为2进制数q后，则q的总位数不超过w。
在这里，正整数k（1≤k≤9）和w（k<w≤30000）是事先给定的。
问：满足上述条件的不同的r共有多少个？
我们再从另一角度作些解释：设S是长度为w 的01字符串（即字符串S由w个“0”或“1”组成），S对应于上述条件（3）中的q。将S从右起划分为若干个长度为k 的段，每段对应一位2k进制的数，如果S至少可分成2段，则S所对应的二进制数又可以转换为上述的2^k 进制数r。
例：设k=3，w=7。则r是个八进制数（2^3=8）。由于w=7，长度为7的01字符串按3位一段分，可分为3段（即1，3，3，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：
2位数：高位为1：6个（即12，13，14，15，16，17），高位为2：5个，…，高位为6：1个（即67）。共6+5+…+1=21个。
3位数：高位只能是1，第2位为2：5个（即123，124，125，126，127），第2位为3：4个，…，第2位为6：1个（即167）。共5+4+…+1=15个。
所以，满足要求的r共有36个。

【输入格式】

输入文件只有1行，为两个正整数，用一个空格隔开：
k W

【输出格式】

输出文件为1行，是一个正整数，为所求的计算结果，即满足条件的不同的r的个数（用十进制数表示），要求最高位不得为0，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。
（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过200位）

【样例输入】

3 7

【样例输出】

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【分析】

手最生的数论和高精度。

引用哑熊的熊洞上的题解。

题目中的那个从另一角度分析就已经蕴含了这个题的基本思路。就以题目的例子为例，长度为7位的01字串按3位一段就这样分：0 000 000。其中除了首段，每段都小于(111)₂，也即小于2^k，而首段自然是小于2^w%k（对于w%k为0时也成立）了。

如果首段为0，则当这个2^k进制数位数分别为2、3、...、[n/k]时，如果用b_max表示2^k，对应的解的个数分别为C[b_max-1][2]、C[b_max-1][3]、...、C[b_max-1][n/k]（C[i][j]表示从i个数里选j个构成一组组合）。

如果首段不为0，设首段为x，则解就有c[b_max-x-1][n/k]个。

这样，求解的个数就搞定了，剩下的活就是高精了。求组合数可以用这个公式：C[n][m]=C[n-1][m-1]+C[n-1][m]，这样高精就只用加法了。

原文传送门：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4c396f4301000bp6.html

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#define BASE 10000
using namespace std;
int b_max,h_max,n,k;
int c[600][600][60],ans[60];
void plus1(int a[],int b[],int c[]) {
  a[0] = max(b[0],c[0]);
  for (int i = 1;i <= a[0];++i) {
    a[i] += b[i] + c[i];
    a[i + 1] += a[i] / BASE;
    a[i] %= BASE;
  }
  while (a[a[0] + 1])
    ++a[0];
}
void plus2(int a[],int b[]) {
  a[0] = max(a[0],b[0]);
  for (int i = 1;i <= a[0];++i) {
    a[i] += b[i];
    a[i + 1] += a[i] / BASE;
    a[i] %= BASE;
  }
  while (a[a[0] + 1])
    ++a[0];
}
int main() {
  scanf("%d%d",&k,&n);
  b_max = 1 << k;
  h_max = 1 << (n % k);
  c[0][0][0] = c[0][0][1] = 1;
  for (int i = 1;i < b_max;++i)
    for (int j = 0;j <= i;++j)
      if (i == j)
        c[i][j][0] = c[i][j][1] = 1;
      else
        plus1(c[i][j],c[i - 1][j],c[i - 1][j - 1]);
  for (int i = 2;i < b_max && i <= n / k;++i)
    plus2(ans,c[b_max - 1][i]);
  for (int i = 1;i < h_max && i < b_max - n / k;++i)
    plus2(ans,c[b_max - i - 1][n / k]);
  printf("%d",ans[ans[0]]);
  for (int i = ans[0] - 1;i > 0;--i)
    printf("%d%d%d%d",ans[i] / 1000,ans[i] / 100 % 10,ans[i] / 10 % 10,ans[i] % 10);
  return 0;
}