[BZOJ 3994] 约数个数和
题意
求下式的值:
n∑i=1m∑j=1d(ij)
其中 d(x) 为约数个数函数
n,m≤5×104,q≤5×104
题解
d(ij)=∑a|i∑b|j[a⊥b]Ans=∑i∑jd(ij)=∑i∑j∑a|i∑b|j[i⊥j]=∑i∑j∑a|i∑b|j∑k|a,k|bμ(k)=∑k⌊nk⌋∑i⌊mk⌋∑j⌊nki⌋∑a⌊mkj⌋∑bμ(k)=∑kμ(k)⌊nk⌋∑i⌊mk⌋∑j⌊nki⌋∑a⌊mkj⌋∑b1=∑kμ(k)⌊nk⌋∑i⌊mk⌋∑j⌊nki⌋⌊mkj⌋=∑kμ(k)⌊nk⌋∑i⌊mk⌋∑j⌊⌊nk⌋i⌋⌊⌊mk⌋j⌋=∑kμ(k)(⌊nk⌋∑i⌊⌊nk⌋i⌋)(⌊mk⌋∑j⌊⌊mk⌋j⌋)
这时我们可以认为 g(x)=x∑i=1⌊xi⌋, 而由于n,m炒鸡小于是可以数论分块+记忆化来求 g(x), 然后随便筛一筛 μ 的前缀和就行了
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
const int MAXN=5e4+10;
int cnt;
int mu[MAXN];
int pr[MAXN];
bool npr[MAXN];
long long g[MAXN];
long long Calc(int);
void EulerSieve(int);
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
EulerSieve(5e4);
while(T--){
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m)
std::swap(n,m);
long long ans=0;
for(int i=1,j;i<=n;i=j+1){
j=std::min(n/(n/i),m/(m/i));
ans+=(mu[j]-mu[i-1])*Calc(n/i)*Calc(m/i);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
long long Calc(int x){
if(g[x]!=0)
return g[x];
else{
for(int i=1,j;i<=x;i=j+1){
j=x/(x/i);
g[x]+=(j-i+1)*(x/i);
}
return g[x];
}
}
void EulerSieve(int n){
npr[0]=npr[1]=true;
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!npr[i]){
pr[cnt++]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=0,t;j<cnt&&(t=i*pr[j])<=n;j++){
npr[t]=true;
if(i%pr[j])
mu[t]=-mu[i];
else{
mu[t]=0;
break;
}
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
mu[i]+=mu[i-1];
}
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