JavaScript中国象棋程序（5） - Alpha-Beta搜索
“JavaScript中国象棋程序” 这一系列教程将带你从头使用JavaScript编写一个中国象棋程序。这是教程的第5节。
上一节，我们深度优先遍历了搜索树，而没有广度优先遍历。本节介绍的Alpha-Beta搜索，会有力提高搜索算法的效率，并体现出深度优先遍历的优势。Alpha-Beta搜索非常重要，是后面课程的基础。本节课程可以分为以下3步学习：
（1）、学习负极大值搜索。这与上节课程是有关联的，并不难懂。了解负极大值搜索，是为了更容易接受Alpha-Beta搜索。另外，在文件“search - 负极大值搜索.js”中，实现了负极大值搜索。
（2）、理解剪枝的原理，然后学习Alpha-Beta搜索。在文件“search - 一个简单的Alpha-Beta搜索.js”中，实现了一个简单的，不超出边界的Alpha-Beta搜索。
（3）、学习在Alpha-Beta基础上进行的一些优化，包括超出边界的Alpha-Beta搜索、杀棋的分数、历史表启发。
5.1、负极大值搜索
前面介绍了极大点搜索和极小点搜索，两种算法的大部分逻辑是一样的。可以合并这两种算法，合并后就是负极大值搜索算法，搜索树如下：
红色数字是当前节点的分值，蓝色数字是父节点对子节点返回值取负后的值。
搜索进行到C1、C2、C3时，要做评估，得到的估值是8、10、15。由于此时轮到红方走棋，表示红方在三个局面分别有8、10、15的优势。在极大极小搜索中，要在B1求这三个局面估值的最小值。现在我们可以这样来看，黑方在C1、C2、C3的优势分别为-8、-10、-15。黑方显然在B1点需要对三个局面做一个选择，选择的目标当然是优势最大化。可以这样表示：
max(-8, -10, -15)
在极大极小搜索中，B1是黑方走棋，是极小点，应该求最小值。现在由于多加了一个负号，也变成求极大值了，B1点也成了极大点。
黑方在B1、B2、B3分别取得了-8、-5、-10的优势，对于红方来讲，则在这三个点分别有8、5、10的优势。所以在A点，轮到红方走棋，它会在B1、B2、B3中选择最大值，即：
max(8, 5, 10)
负极大值搜索伪代码如下：
Search.prototype.negaMaxSearch = function(depth) {
如果depth等于0，调用评估函数并返回分值
var vlBest = 负无穷; // 初始最优值
var mvs = 当前局面全部走法; // 生成当前局面的所有走法
var value = 0;
for (var i = 0; i < mvs.length; i ++) {
执行招法mvs[i]
value = -this.negaMaxSearch(depth - 1); // 递归调用自身，注意有个负号
撤销招法mvs[i]
if (value > vlBest) { // 寻找最大估值
vlBest = value;
if (depth == MINMAXDEPTH) { // 如果回到根节点，需要记录最佳走法
记录根节点的最佳走法
}
}
}
return vlBest; // 返回当前节点的最优值
}
在极大极小算法中，叶子节点调用评估函数，始终返回红方优势。根节点如果红方走棋，调用极大点算法；否则调用极小点算法。
在负极大值算法中，所有节点都是极大点。评估函数就不能总是返回红方优势了，应该返回叶子节点走棋方的优势。另外，走棋方具有先走棋的权利，我们认为这是一种优势。为体现这个优势，局面得分加上ADVANCED_VALUE（也就是3）的分值。
评估函数应该修改为：
Position.prototype.evaluate = function() {
var vl = (this.sdPlayer == 0 ? this.vlWhite - this.vlBlack :
this.vlBlack - this.vlWhite) + ADVANCED_VALUE;
return vl;
}
5.2、浅的搜索剪枝
极大极小搜索以及负极大值搜索，都是对整个搜索树进行完全搜索。实际上，有些没用的分支是可以裁减掉的，这样会大大缩短搜索时间。先来看一个极大极小搜索树（使用负极大值搜索树，道理是一样的。不过极大极小搜索树更直观，更简单一点。）：
当搜索到B2点时，红方A点已经通过B1的搜索得到了一个当前最优值8，红方希望通过B2这条路径得到更好的值。当搜索到C4时得到一个估值7，也就是B2当前最优值。由于B2是极小点，在搜索B2剩余的子节点时，凡是估值超过7的B2都不会考虑，一旦有值小于7就会取代7成为新的最优值。也就是说，B2的值不超过7。那么对于A点来讲，B2就没有意义，继续搜索B2的后续子节点也毫无意义。C5、C6不必搜索，而直接返回A点，继续A点后续子节点的搜索。
C8、C9节点与B2节点类似，也可以进行剪枝。
以C9节点为例，当搜索到C9时，黑方B3点已经通过对C7、C8的搜索，得到了一个最优值10。当搜索到D5节点是，得到一个估值12。由于C9是极大点，因此C9的值不会低于12。对B3点来说，C9毫无意义，不用再搜索C9的后续节点。
我们再来看一下负极大值搜索树：
红色数字是当前节点的分值，蓝色数字是父节点对子节点返回值取负后的值。
搜索进行到C1、C2、C3时，得到估值分别是8、10、15，也就是说红方优势分别是8、10、15。那么，这三点黑方优势分别是-8、-10、-15。B1点要在C1、C2、C3点做出抉择，自然会选择黑方优势最大的C1点，B1点估值-8。
在B1点，-8是黑方的优势，那么-8也可以被认为是红方的劣势。红方希望通过对B2的搜索，来减小这一劣势（也就是得到-9、-10之类，小于-8的估值）。搜索完C4后，B2点得到了一个最优值-7。由于目前所有节点都是极大点，B2的估值不会小于-7。B2点增大了红方得的劣势，休想A点选择B2这条路线，对B2剩余子节点的搜索也就毫无意义。
怎样实现这一算法呢？我们再回到B2点。只要把A点已知的红方劣势，也就是-8，传递给B2点，就能实现这一裁剪。A点传递给B2点的这个参数，我们叫做Beta；这一搜索算法，我们叫做Beta搜索。伪代码如下：
Search.prototype.betaSearch = function(depth, beta) {
如果depth等于0，调用评估函数并返回分值
var vlBest = 负无穷; // 初始最优值
var mvs = 当前局面全部走法; // 生成当前局面的所有走法
var value = 0;
for (var i = 0; i < mvs.length; i ++) {
执行招法mvs[i]
value = -this.betaSearch(depth - 1); // 递归调用自身，注意有个负号
撤销招法mvs[i]
if(value > beta) { // 得到一个大于bate的值，终止对当前节点的搜索
return beta;
}
if (value > vlBest) { // 寻找最大估值
vlBest = value;
if (depth == MINMAXDEPTH) { // 如果回到根节点，需要记录最佳走法
记录根节点的最佳走法
}
}
}
return vlBest; // 返回当前节点的最优值
}
5.3、深的搜索剪枝
我们来讨论更复杂的可能裁剪的情况，
当搜索B2节点时，已知B1节点的估值是8。从B2点向下两层，有个D1点。D1点搜索完E1点后，得到E1的估值为6。由于D1是极小点，D1的估值不大于6。如果从C5点返回6或者更小，那么我们就可以在B2上做裁剪，因为它有更好的兄弟节点 B1（这里的更好是对A点来说的）。因此，继续搜索D1的后续节点毫无意义，E2不必搜索。
为了实现深的裁剪，除了传递参数Beta，我们还要传递一个参数Alpha，这就形成了Alpha-Beta搜索。
5.4、Alpha-Beta搜索
Alpha-Beta搜索与Beta搜索很相似，伪代码如下：
Search.prototype.alphaBetaSearch = function(vlAlpha_, vlBeta, depth) {
如果depth等于0，调用评估函数并返回分值
var vlAlpha = vlAlpha_; // 初始最优值，不再是负无穷
var mvs = 当前局面全部走法; // 生成当前局面的所有走法
var vl = 0;
for (var i = 0; i < mvs.length; i ++) {
执行招法mvs[i]
vl = -this.alphaBetaSearch(-vlBeta, -vlAlpha, depth - 1); // 递归调用
撤销招法mvs[i]
if(vl >= vlBeta) { // 得到一个大于或等于bate的值，终止对当前节点的搜索
return vlBeta;
}
if (vl > vlAlpha) { // 寻找最大估值
vlAlpha = vl;
if (depth == MINMAXDEPTH) { // 如果回到根节点，需要记录最佳走法
记录最佳走法
}
}
}
return vlAlpha; // 返回当前节点的最优值
}
在根节点，Alpha取负无穷，Beta取正无穷。当函数递归时，Alpha和Beta不但取负数而且要交换位置。Alpha表示当前搜索节点走棋一方搜索到的最好值，任何比它小的值对当前节点走棋方都没有意义。Beta表示对手目前的劣势，这是对手所能承受的最坏结果。Beta值越大，表示对方劣势越明显；Beta值越小，表示对方劣势也越小。在对手看来，他总是希望找到一个对策不比Beta更坏。如果当前节点返回Beta或比Beta更好的值，作为父节点的对方就绝不会选择这种策略。
5.5、超出边界Alpha-Beta搜索
图A 超出边界的Alpha-Beta搜索
图B 不超出边界的Alpha-Beta搜索
以上两图，分别描述了“超出边界的Alpha-Beta搜索”和“不超出边界的Alpha-Beta搜索”。
括号中的两个值，是当前节点的初始alpha和beta。
从上面两图可以看出，B2点第1种走法得到value = -7，产生剪枝。B2点无论返回-7还是-8都不会影响A点的值。C8的所有走法得到的值均小于8，无论返回3还是8在父节点都会引起剪枝。
不管是哪种搜索方法，最终根节点的搜索结果是一样的，搜索效率也一样。不过，将来程序中会引入置换表（后面的课程会介绍这个概念），超出边界的Alpha-Beta搜索查找置换表时命中率更高，更有优势。因此，程序中直接使用了超出边界的Alpha-Beta搜索。
5.6、杀棋的分数
考虑这样一个搜索树：
在根节点A点，红方优势明显，即将取得胜利。而在D点和B2点，都是黑方被将死或者困毙的局面。如果D、B2两节点的估值都是-MATE_VALUE（也就是-10000），那么A点沿这两个搜索路径得到的估值都是10000。当估值相同时，我们的程序一般采用前面的走法。但是对红方来说，明显第二个路径更好，一步就能取得胜利。为解决这一问题，可以把输棋的分值，与搜索层数结合起来：
输棋分值 = -MATE_VALUE + 搜索层数
例如，A、B1、B2、C、D的搜索层数分别是0、1、1、2、3。D节点估值
-10000 + 3 = -9997
B2节点估值
-10000 + 1 = -9999
在我们的程序中，使用如下函数实现：
Position.prototype.mateValue = function() {
return this.distance - MATE_VALUE;
}
5.7、历史表启发（History Heuristic）
Alpha-Beta搜索严重依赖于着发的搜索顺序。如果总是先去搜索最坏的着法，那么Beta截断就不会发生，因此该算法就如同极大极小搜索一样，效率非常低。如果程序总是能挑最好的着法来首先搜索，就能不断发生Beta截断，大大提高搜索效率。因此使用Alpha-Beta搜索时，着发顺序至关重要。
国际象棋程序的经验证明，历史表是很好的走法排序依据。什么是历史表呢？如果一个着法在不同层很多节点都被搜索过，并且是很好的走法，那么我们就将该走法存入历史表，并对该走发赋一个值（当然，这个走法被搜索到的次数越多，赋的值就越大）。
什么样的走法算是比较好的走法呢？我们的程序选择了以下两类走法：
1、产生Beta截断的走法
2、不能产生Beta截断，但它是所有PV走法(也就是Beta > vl > vlAlpha的走法)中最好的走法。
历史表historyTable[]是一个大小为4096的数组，遇到一个比较好的走法mv时，给历史表中的该走法增加一个value值：
historyTable[mv] = historyTable[mv] + value
对于value的取值，我们沿用国际的经验——深度的平方。也就是说，
value = depth * depth
事实上，我们的程序并没有按照惯例，使用mv作为历史表的指标，并不存在historyTable[mv]这样的写法。我们使用“棋子类别 + 走法终点位置”作为历史表的指标。我是这样理解这一指标的：比如已知的几个不错的走法，都是将红车移动到某一位置。如果遇到一个走法，也是将红车移动到这一位置，那么我们猜测，这一走法也是个不错的走法。
获取历史表指标的方法如下：
Position.prototype.historyIndex = function(mv) {
return ((this.squares[SRC(mv)] - 8) << 8) + DST(mv);
}
更新历史表的方法如下：
Search.prototype.setBestMove = function(mv, depth) {
this.historyTable[this.pos.historyIndex(mv)] += depth * depth;
}
5.8、迭代加深
上一节的极大极小搜索，搜索深度固定为3。这一节使用了效率更高的Alpha-Beta搜索，完全可以增大搜索深度了。深度太浅，无法充分利用电脑性能；深度过深，又要等待很久的时间。那我们干脆不指定搜索深度了，而是指定搜索时间。设置搜索时间为100毫秒，从深度depth=1开始搜索。如果搜索完后还有时间，那就增加深度继续搜索，伪代码如下：
for (i = 1; i < 最大深度; i ++) {
alphaBetaSearch(负无穷, 正无穷, i); // 搜索深度为i
if (超过搜索时间) {
break;
}
}
迭代加深不仅充分利用了时间资源，还能充分发挥历史表的作用——前一层搜索结束后，将在历史表中积累大量数据，这将有效减少深一层搜索的时间。
5.9、核心代码说明
本节的代码可以在 Github 下载，也可以直接clone
git clone -b step-5 https://github.com/Royhoo/write-a-chinesechess-program
Search中新增或修改的主要属性和方法：
（1）、historyTable[]
该数组是历史表。
（2）、searchMain(depth, millis)
增加了迭代加深搜索。
（3）、alphaBetaSearch(vlAlpha_, vlBeta, depth)
实现了Alpha-Beta搜索，并且：
1、根据杀棋步数给出杀棋分数。
2、使用历史表优化搜索效率。
在文件“search.js”中，新增了一个对象MoveSort，用于生成一个局面排序后的走法。
