FPGA算法学习(1) -- Cordic（圆周系统之向量模式）
旋转模式用来解决三角函数，实现极坐标到直角坐标的转换，基础理论请参考Cordic算法——圆周系统之旋转模式。那么，向量模式则用来解决反三角函数的问题，体现的应用主要是直角坐标向极坐标转换，即已知一点的直角坐标(x,y)，求其极坐标(α,γ)，实际上是求arctan(y/x)。
旋转模式下，每次迭代使z趋近于α（α-z趋近于0），而向量模式下，则使y趋近于0，这一点很好理解，即从坐标位置，旋转到x正半轴，一共旋转了多少角度，则该角度即为α，从而知道了极角。
如图所示，在单位圆上，向量OP与X轴的正半轴夹角为α，故P点的坐标可表示为
根据开头描述，我们需要转动向量OP，先顺时针旋转θ角至向量OQ，Q点的坐标可表示为
这里定义θ为目标旋转角度。根据三角函数公式可将上式展开为
现在已经有点 Cordic 算法的样子了，但是我们看到每次旋转都要计算 4 次浮点数的乘法运算，运算量还是太大了。还需要进一步的改进，改进的切入点当然还是坐标变换的过程。
将式(1.1)代入到式(1.3)中可得
用矩阵形式表示为：
旋转了i次以后，可以得到：
最终需将y_Q_i+1转为0，先按45°的二分法查找来解释过程，用C语言描述过程为：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
double cordic_v(double x, double y);
int main(viod)
{
double alfa = cordic_v(120.0,200.0); //直角坐标（x,y）
printf("\n 极角为 = %f \n",alfa);
return 0;
}
double cordic_v(double x, double y)
{
const double sine[] = {0.7071067811865,0.3826834323651,0.1950903220161,
0.09801714032956,0.04906767432742,0.02454122852291,0.01227153828572,
0.006135884649154,0.003067956762966,0.001533980186285,
7.669903187427045e-4,3.834951875713956e-4,1.917475973107033e-4,
9.587379909597735e-5,4.793689960306688e-5,2.396844980841822e-5
};
const double cosine[] = {0.7071067811865,0.9238795325113,0.9807852804032,0.9951847266722,
0.9987954562052,0.9996988186962,0.9999247018391,0.9999811752826,0.9999952938096,
0.9999988234517,0.9999997058629,0.9999999264657,0.9999999816164,0.9999999954041,
0.999999998851,0.9999999997128
};
int i = 0;
double x_new, y_new;
double angleSum = 0.0;
double angle = 45.0; //第一次旋转角度为45°
for( i=0; i<15;i++)
{
if(y > 0)
{
x_new = x * cosine[i] + y * sine[i];
y_new = y * cosine[i] - x * sine[i];
x = x_new;
y = y_new;
angleSum += angle;
}
else
{
x_new = x * cosine[i] - y * sine[i];
y_new = y * cosine[i] + x * sine[i];
x = x_new;
y = y_new;
angleSum -= angle;
}
printf("旋转次数: i = %2d 旋转角度 = %10f, 累计旋转角度 = %10f\n", i+1, angle,angleSum );
angle /= 2;
}
return angleSum;
}
经过旋转模式的推导，向量模式的伪旋转公式，可表示为
C语言描述过程，如下：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
double cordic_v(double x, double y);
double r = 0.0; //定义一个模长全局变量
int main(viod)
{
double alfa = cordic_v(120.0,200.0); //直角坐标（x,y）
printf("\n极角 = %5f, 模长 = %5f\n",alfa,r);
return 0;
}
double cordic_v(double x, double y)
{
const double theta[] = { 45.0, 26.56505118, 14.03624347, 7.125016349,
3.576334375, 1.789910608, 0.8951737102, 0.4476141709,
0.2238105004, 0.1119056771, 0.05595289189, 0.02797645262,
0.01398822714, 0.006994113675, 0.003497056851, 0.001748528427
}; //旋转角度
int i = 0;
double x_new, y_new;
double angleSum = 0.0;
r = sqrt(x*x+y*y);
for( i=0; i<16;i++)
{
if(y > 0)
{
x_new = x + y/(1<<i);
y_new = y - x/(1<<i);
x = x_new;
y = y_new;
angleSum += theta[i];
}
else
{
x_new = x - y/(1<<i);
y_new = y + x/(1<<i);
x = x_new;
y = y_new;
angleSum -= theta[i];
}
printf("旋转次数: i = %2d 旋转角度 = %10f, 累计旋转角度 = %10f, y = %5f\n", i+1,theta[i],angleSum,y );
}
return angleSum;
}
同样，向量模式的cordic算法适用于第一、四象限的坐标变换，在第二、三象限的坐标需要进行预处理。
参考
-
《基于FPGA的数字信号处理（第2版）》——高亚军著
