【数论·错位排列】bzoj4517 排列计数

4517: [Sdoi2016]排列计数

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

 

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

 

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

HINT

Source

鸣谢Menci上传

题解

错位排列个数f[i]=(f[i-1]+f[i-2])*(i-1)

证明：

假设1位于k上，则k有可能在1上

此时方案数为f[i-1]*(i-1)

 

或者k不在i上，但k不会出现在k上，相当于对i-2错排

所以方案数为f[i-2]*(i-1)

 

所以总方案数为 f[i]=(f[i-1]+f[i-2])*(i-1)

代码

//by 减维
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define p 1000000007
using namespace std;

int t,n,m;
ll jc[1000005],ny[1000005],f[1000005];

ll ksm(ll x,ll y)
{
    ll a=x,ret=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=(ret*a)%p;
        a=a*a%p;
        y/=2;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    jc[1]=jc[0]=1;ny[0]=1;
    for(int i=1;i<=1000000;++i)
        jc[i]=(jc[i-1]*i)%p,ny[i]=ksm(jc[i],p-2);
    f[0]=1;f[1]=0;
    for(int i=2;i<=1000000;++i)f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%p*(i-1)%p;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%lld\n",jc[n]*ny[m]%p*ny[n-m]%p*f[n-m]%p);
    }
}