《训练指南》——7.21

Q：矩阵链乘

  熟悉线性代数的同学会知道，矩阵乘法AxB在矩阵A是m x n，矩阵B是n x p的时候才有定义，其运算量是mnp。

  那么现在给出n个矩阵，用数组p[]（长度为n）来记录各个矩阵的的行列，那么安排一种矩阵乘法的分配方案，使得全局的运算量最少。

  分析：很显然这是一个基于线性区间上的一个dp问题，其实dp问题很大的一个难度就在于子问题化，完成了恰到好处的子问题化，递推方程的得到是水到渠成的。而对于线性区间上的问题，子问题的分割往往也是从区间入手。

  这里我们的最终解释基于p数组[0，n]的区间段上，我们设置二维数组dp[i][j]用来表示p数组在区间[i-1,j]上的解(也就是第i个矩阵链乘到第j个矩阵的最小运算量)，而区间上的dp最常见的子问题化就是定义好状态之后，取一点，然后然这个点遍历[i,j]区间来得到所有的子问题然后维护最值便可完成整个dp过程。

  其实也可以理解为，枚举区间[i,j]上最后一次链乘的中间参数k的所有位置。

  在这里，为了求解dp[i][j]，我们设置区间k∈(i,j),那么很容易得到如下的状态转移方程：

 

    边界情况：dp[i][i] = 0.