《University Calculus》-chaper8-无穷序列和无穷级数-p级数

Q：定义p级数有如下形式，讨论p级数的敛散性。(p>o)

                       

  我们以p = 1作为分界点，因为实践表明这个分界点是最优区分度的。那么下面我们进行分情况讨论。

  在这之前，我们有必要先引入一个检验敛散性的方法——积分检验法。

  所谓积分检验法，就是将级数的通项看成一个函数表达式，而求解无穷级数也就是求解无穷项的和的时候，其实恰恰对应着函数求积分的过程，因此我们在判断无穷级数敛散性的时候，我们可以借助积分这个工具来进行间接的判断。给出下面的图便一目了然。

 

  原则上这个方法的正确性是需要证明的，在《托马斯大学微积分》中也给出了详尽的证明，考虑其原理非常简单易懂，笔者这里就不做累述了。

  (1)p >1：

   

  级数收敛。

  (2)p<1:

  采取相同的策略，得到的结果是无穷，级数发散。

  (3)p=1：

  我们会得到著名的调和级数，在这里呈现出一种最简单的证明方法：

  ∑1/p = 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16)…可以看到每个括号里的和都大于1/2，而显然这个无穷级数能够继续进行这种“套括号”因此∑1/p趋于无穷，级数发散。