《离散数学》-图论6.10

  与树相关的知识点：

相对来说清华大学出版社的这本《离散数学》有关树的这一章节还是比较简单地，概念也不多，有关树、森林、树叶、分支点、生成树、最小生成树等概念都很简单，这里不再累述，下面记录几个定理和重要的算法步骤。

 

  定理1：设T<V,E>是n阶非平凡的无向树，则T至少有2片树叶。

  证明：设T有k片树叶，则有n-k个分支点(分支点的度数大于等于2)，由握手定理可知2m≥k + 2(n-k)，然后考虑到树结构中一个非常常用的性质，边数m和顶点数n满足m = n – 1，带入不等式，可得k≥2，证毕。

 

  这里有一组概念可能会比较生疏：树的树枝和弦，即对于G的生成树T，属于G也属于T的边称为T的树枝，属于G但是不属于T的边称为T的弦。

 

  定理2：任何无向连通图G都存在生成树。

  证明：如果G不存在回路，那么G是树；如果G存在回路，那么去掉这个回路当中任何一条边，使其不成回路但并没有影响G的连通性，反复操作，必然会得到一棵没有回路的图G，即得到一棵生成树。

 

  基于贪心的Kruskal算法和Huffman算法：

  它们都基于一种基本的算法思想——贪心。这种思想有些玄妙用语言表述起来并不简便，因此这里不体现证明。(笔者在一篇有关贪心法的文章中曾尝试给出哈夫曼算法的证明，如果读者感兴趣可以去看一看)

 

  Kruskal算法（最小生成树）：

  将G中m条边的权值进行从小到大排序e1，e2，e3，…，em，基于n阶零图，然后从e1开始选边构造，如果选入ei导致当前图出现回路，则放弃这条边。

  Huffman(最优二元树)：

  给定实数w1、w2、w3…wt，作为二元树t片叶子的权值。

(1)    将t个权值按上升排序。

(2)    选取权值序列最小的两个wi、wj，合成一个分支点，权值为wi+wj，将wi、wj从权值序列中删除，并添加新权值wi+wj。

(3)    重复(2)，知道权值序列为空。

  Huffman算法的一个生活应用：最优前缀码。

 

  下面来介绍树结构中比较生疏的几组概念：

  根树：基于有向图中的树结构。

  r元树：每个分支点至多有r个儿子的树。

  r元正则树：每个分支点都是有r个儿子的树。

  r元完全正则树：基于r元正则树，所有叶子的树高相同的树结构。

  有序树：对于根树，规定了每一层节点的顺序的树结构。

 

  根树周游：按照访问树根的先后，这里有中序、前序、后序行遍三种方法，理解它们定义的关键是搞懂这是一个递归过程。

  根树周游的一个应用：波兰符号。