【NOIP模拟赛】小奇的矩阵

【题目背景】

小奇总是在数学课上思考奇怪的问题。

【问题描述】

给定一个n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij为正整数。

接下来规定

1.合法的路径初始从矩阵左上角出发，每次只能向右或向下走，终点为右下角。

2.路径经过的n+m-1个格子中的元素为A1,A2…A(n+m-1)，Aavg为Ai的平均数，路径的V值为(n+m-1)*∑(Ai-Aavg) ^2

(1<=i<=n+m-1)

求V值最小的合法路径，输出V值即可，有多组测试数据。

【输入格式】

第一行包含一个正整数T，表示数据组数。

对于每组数据：

第一行包含两个正整数n和m，表示矩阵的行数和列数。
接下来n行，每行m个正整数aij，描述这个矩阵。

【输出格式】

对于每次询问，输出一行一个整数表示要求的结果

【样例输入】

1

2 2

1 2

3 4

【样例输出】

14

【数据范围】

对于30%的数据 n<=10，m<=10

有另外40%的数据 n<=15 m<=15，矩阵中的元素不大于5

对于100%的数据 T<=5，n<=30，m<=30，矩阵中的元素不大于30

题解

　　又有一道DP题没有做出来。

　　首先我们可以把式子拆开可以拆成sum1~n+m-1(Ai^2)-sum1~n+m-1(Ai),那么就可以用设dp[S][i][j]表示处于（i，j）和为S的最小sum1～n+m-1（Ai^2）,转移就是向下，向右走就是了。

　　注意，不合法的状态不能让他更新其他状态。

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define N (n+m)*30
#define MAXN 110
#define ll long long
using namespace std;
int n,m;
ll dp[2000][35][35],v[110][110];
void DP(){
    dp[v[1][1]][1][1]=v[1][1]*v[1][1];
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=N;k++)
                if(dp[k][i][j]!=dp[0][0][0]){
                    int x=i+1,y=j,s=k+v[x][y];
                    dp[s][x][y]=min(dp[s][x][y],dp[k][i][j]+v[x][y]*v[x][y]);
                    x=i,y=j+1,s=k+v[x][y];
                    dp[s][x][y]=min(dp[s][x][y],dp[k][i][j]+v[x][y]*v[x][y]);
                }
}
int main()
{
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%lld",&v[i][j]);
        memset(dp,127,sizeof(dp));
        DP();
        ll ans=dp[0][0][0];
        for(int s=0;s<=N;s++){
            if(dp[s][n][m]!=dp[0][0][0]){
                ans=min(ans,(n+m-1)*dp[s][n][m]-s*s);
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}