Solid Angle of A Cubemap Texel - 计算Cubemap的一个像素对应的立体角的大小

参考[http://www.rorydriscoll.com/2012/01/15/cubemap-texel-solid-angle/]

计算diffuse irradiance map或者求解sh系数的时候，需要对整个球面进行积分，由于cubemap不同位置的像素投影到球面上面积不同，所以不能平等的对待所有像素。

这时候就需要计算每个像素对应的solid angle。

如图，单位球位于原点。选取cubemap的一个面，假设其位于z=1的平面上。一个像素的立体角大小就是其投影到球面上的面积。

关于面积的求解分三步进行：

1. 计算平面上一点(x,y,1)投影到球面上后的坐标p'。

2. p'关于x方向和y方向的方向导数，两个方向导数叉乘的模长即为微面元的面积。

3. 对微面元积分，求得（0,0,1）-  (x,y,1)对应四边形的投影面积(立体角)，然后利用这个公式就能求得一个像素的立体角。

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1. p'就是一个放缩操作：

2. 两个方向导数：

 

这两个向量叉乘的结果：

 

然后叉乘的模长即为微面元的面积：

3. 积分，计算（0，0）到像素点（s，t）的立体角

4. 如果想计算四边形ABCD的立体角，则：S = f(A) - f(B) + f(C) - f(D)

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代码：

double sphereQuadrantArea(double x, double y) {
    return std::atan2(x*y, std::sqrt(x*x + y*y + 1));
}

double solidAngle(size_t dim, size_t u, size_t v) {
    const double iDim = 1.0f / dim;
    double s = ((u + 0.5) * 2*iDim) - 1;
    double t = ((v + 0.5) * 2*iDim) - 1;
    const double x0 = s - iDim;
    const double y0 = t - iDim;
    const double x1 = s + iDim;
    const double y1 = t + iDim;
    double solidAngle = sphereQuadrantArea(x0, y0) -
                        sphereQuadrantArea(x0, y1) -
                        sphereQuadrantArea(x1, y0) +
                        sphereQuadrantArea(x1, y1);
    return solidAngle;
}