图的邻接矩阵表示

图的邻接矩阵表示

图基概念(Graph)

• 包含

  • 一组顶点：通常用V (Vertex) 表示顶点集合
  • 一组边：通常用E (Edge) 表示边的集合
  • 边是顶点对：(v, w) ∈E ，其中v, w ∈ V有向边<v, w> 表示从v指向w的边（单行线）不考虑重边和自回路

• 无向图：边是无向边(v, w)

• 有向图：边是有向边<v, w>

• 连通：如果从V到W存在一条（无向）路径，则称V和W是连通的

• 连通图(Connected Graph)：如果对于图的任一两个顶点v、w∈V，v和w都是连通的，则称该图为连通图。图中任意两顶点均连通。

• 连通分量(Connected Component):无向图中的极大连通子图。

  • 极大顶点数：再加1个顶点就不连通了
  • 极大边数：包含子图中所有顶点相连的所有边

• 强连通：有向图中顶点V和W之间存在双向路径，则称V和W是强连通的。

• 强连通图：有向图中任意两顶点均强连通。

• 强连通分量：有向图的极大强连通子图。

• 路径：V到W的路径是一系列顶点{V, v1, v2, …,vn, W}的集合，其中任一对相邻的顶点间都有图中的边。路径的长度是路径中的边数（如果带权，则是所有边的权重和）。

• 如果V到W之间的所有顶点都不同，则称简单路径

• 回路：起点等于终点的路径

邻接矩阵

• 图的邻接矩阵存储方式就是用一个二维数组来表示。邻接矩阵G[N][N]——N个顶点从0到N-1编号顶点i、j有边，则G[i][j] = 1 或边的权重

• 邻接矩阵的优点

  • 直观、简单、好理解
  • 方便检查任意一对顶点间是否存在边
  • 方便找任一顶点的所有“邻接点”（有边直接相连的顶点）
  • 方便计算任一顶点的“度”（从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”）
  • 无向图：对应行（或列）非0元素的个数
  • 有向图：对应行非0元素的个数是“出度”；对应列非0元素的个数是“入度”

• 邻接矩阵的缺点

  • 浪费空间—— 存稀疏图（点很多而边很少）有大量无效元素
  • 对稠密图（特别是完全图）还是很合算的
  • 浪费时间—— 统计稀疏图中一共有多少条边

BFS广度优先搜索(Breadth First Search, BFS)

• 运用队列，将顶点V的每个邻接点进队。(类似于树的层先遍历)

• 若有N个顶点、E条边，时间复杂度是
  - 用邻接表存储图，有O(N+E)
  - 用邻接矩阵存储图，有O(N^2)

DFS深度优先搜索索(Depth First Search, DFS)

• 用递归(类似于树的先序遍历)。

• ListComponents 图不连通时，列出各连通分量。

• 若有N个顶点、E条边，时间复杂度是
  - 用邻接表存储图，有O(N+E)
  - 用邻接矩阵存储图，有O(N^2)

• 深度优先遍历算法的非递归实现需要了解深度优先遍历的执行过程，设计一个栈来模拟递归实现中系统设置的工作栈，算法的伪代码描述为：

• 假设图采用邻接矩阵作为存储结构，具体算法如下：

测试代码：

/*!
 * \file 图的邻接矩阵表示.cpp
 *
 * \author ranjiewen
 * \date 2017/04/10 23:20
 *
 * 
 */

#include <iostream> 
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <queue>

using namespace std;

/* 图的邻接矩阵表示法 */
#define  MaxVertexNum 100 /*最大顶点数设为100*/
#define  INFINITY 65535 /*设为双字节无符号整数的最大值为65535*/
typedef int Vertex; /*用顶点下标表示顶点，为整型*/
typedef int WeightType; /*边的权值设为整型*/
typedef char DataType; /*顶点存储的数据类型设为字符型*/

/*边的定义*/
typedef struct ENode* PtrToENode;
struct ENode
{
	Vertex V1, V2; //有向边<v1,v2>
	WeightType Weight;//权重
};
typedef PtrToENode Edge;

/*图结点的定义*/
typedef struct GNode *PtrToGNode;
struct GNode
{
	int Nv; //顶点树
	int Ne; //边数
	WeightType G[MaxVertexNum][MaxVertexNum]; //邻接矩阵
	DataType Data[MaxVertexNum];// 存顶点的数据
	//注意：很多情况下，顶点无数据，此时Data[]可以不用出现
};
typedef PtrToGNode MGraph; /*用邻接矩阵存储的图类型*/

bool Visited[MaxVertexNum] = { false };

MGraph CreateGraph(int VertexNum)
{
	/*初始化一个有VertexNum个顶点但没有边的图*/
	Vertex V, W; /*顶点的下标*/
	MGraph Graph;

	Graph = (MGraph)malloc(sizeof(struct GNode)); /*建立图*/
	Graph->Nv = VertexNum;
	Graph->Ne = 0;
	//初始化邻接矩阵
	//注意：这里默认顶点编号从0开始到（Graph->Nv - 1）
	for (V = 0; V < Graph->Nv;V++)
	{
		for (W = 0; W < Graph->Nv;W++)
		{
			Graph->G[V][W] = INFINITY;
		}
	}
	return Graph;
}

void InsertEdge(MGraph Graph,Edge E)
{
	//插入边<v1,v2>
	Graph->G[E->V1][E->V2] = E->Weight;
	//若是无向图，还要插入边<v2,v1>
	Graph->G[E->V2][E->V1] = E->Weight;
}

MGraph BuildGraph()
{
	MGraph Graph;
	Edge E;
	Vertex V;
	int Nv, i;

	scanf("%d", &Nv); /*读入顶点个数*/
	Graph = CreateGraph(Nv); /* 初始化有Nv个顶点但没有边的图 */
	
	scanf("%d", &(Graph->Ne)); /*读入边数*/
	if (Graph->Ne!=0) //如果有边
 	{
		E = (Edge)malloc(sizeof(struct ENode)); //建立边结点
		//读入边，格式为:起点，中点，权重；插入邻接矩阵
		for (i = 0; i < Graph->Ne;i++)
		{
			scanf("%d %d %d", &E->V1, &E->V2, &E->Weight);
			//注意：如果权重不是整型，weight的读入格式要改变
			InsertEdge(Graph, E);
		}
	}

	//如果顶点有数据的话，读入数据
	for (V = 0; V < Graph->Nv;V++)
	{
		//scanf("%c", &(Graph->Data[V]));
	}
	return Graph;
}

/* 邻接矩阵存储的图 - BFS */

/* IsEdge(Graph, V, W)检查<V, W>是否图Graph中的一条边，即W是否V的邻接点。  */
/* 此函数根据图的不同类型要做不同的实现，关键取决于对不存在的边的表示方法。*/
/* 例如对有权图, 如果不存在的边被初始化为INFINITY, 则函数实现如下:         */
bool IsEdge(MGraph Graph, Vertex V, Vertex W)
{
	return Graph->G[V][W] < INFINITY ? true : false;
}

void InitVisited()
{
	for (int i = 0; i < MaxVertexNum;i++)
	{
		Visited[i] = false;
	}
}

void Visit(Vertex v)
{
	printf("%d ", v);
}

//连通下的DFS和BFS
void BFS(MGraph Graph, Vertex S, void(*Visit)(Vertex))
{  
	/* 以S为出发点对邻接矩阵存储的图Graph进行BFS搜索 */
	queue<Vertex> Q;
	Vertex V, W;

	Visit(S);
	Visited[S] = true; 
	Q.push(S);

	while (!Q.empty()) {
		V = Q.front();
		Q.pop();
		for (W = 0; W < Graph->Nv; W++)  /* 对图中的每个顶点W */
		/* 若W是V的邻接点并且未访问过 */
		if (!Visited[W] && IsEdge(Graph, V, W)) 
		{
			/* 访问顶点W */
			Visit(W);
			Visited[W] = true;
			Q.push(W);
		}
	}
}

void DFS(MGraph Graph, Vertex S, void(*Visit)(Vertex))
{
	/* 以V为出发点对邻接表存储的图Graph进行DFS搜索 */
	Visited[S] = true;
	Visit(S);
	for (Vertex w = 0; w < Graph->Nv; w++) {
		if (IsEdge(Graph, S, w) && Visited[w] == false) {
			DFS(Graph, w, Visit);
		}
	}
}

//非连通下的遍历
Vertex listDFS(MGraph Graph, void(*Visit)(Vertex))
{
	Vertex i;
	for (i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
		if (Visited[i] == false)
			break;
	}
	if (i == Graph->Nv)
		return 0;
	DFS(Graph, i, Visit);
	printf("\n");

	return listDFS(Graph, Visit);
}

void DFSListComponents(MGraph Graph, void(*Visit)(Vertex))
{
	for (Vertex i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
		if (Visited[i] == false) {
			DFS(Graph, i, Visit);
			printf("\n");
		}
	}
}
void BFSListComponents(MGraph Graph, void(*Visit)(Vertex))
{
	for (Vertex i = 0; i < Graph->Nv; i++) {
		if (Visited[i] == false) {
			BFS(Graph, i, Visit);
			printf("\n");
		}
	}
}

int main()
{
	MGraph graph;
	graph = BuildGraph();
	InitVisited();
	listDFS(graph, &Visit);
	InitVisited();
	DFSListComponents(graph, &Visit);
	InitVisited();
	//BFS(graph,0,&Visit);
	BFSListComponents(graph, &Visit);
	return 0;
}

结果：

Reference

数据结构学习笔记05图 (邻接矩阵 邻接表-->BFS DFS、最短路径)