从01背包问题理解动态规划---初体验

 　　01背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

　　这个问题有两种解法，动态规划和贪婪算法。本文仅涉及动态规划。

　　先不套用动态规划的具体定义，试着想，碰见这种题目，怎么解决?

　　首先想到的，一般是穷举法，一个一个地试，对于数目小的例子适用，如果容量增大，物品增多，这种方法就无用武之地了。

　　其次，可以先把价值最大的物体放入，这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件，结果未必可行。

　　最后，就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

　　表达式中各个符号的具体含义。

　　w[i] :  第i个物体的重量；

　　p[i] : 第i个物体的价值；

　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；

　　由此可得：

　　　　　　c[i][m]=max{c[i-1][m-w[i]]+pi , c[i-1][m]}（下图将给出更具体的解释）

 

 

　　　　根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自（http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload） ，当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

　　　　

　　　　思路厘清后，开始编程序，C语言代码如下所示。

#include <stdio.h>
int c[10][100]={0};

void knap(int m,int n){

    int i,j,w[10],p[10];
    for(i=1;i<n+1;i++)
        scanf("%d,%d",&w[i],&p[i]);
    for(j=0;j<m+1;j++)
        for(i=0;i<n+1;i++)
    {
        if(j<w[i])
        {
            c[i][j]=c[i-1][j];
            continue;
        }else if(c[i-1][j-w[i]]+p[i]>c[i-1][j])
            c[i][j]=c[i-1][j-w[i]]+p[i];
        else
            c[i][j]=c[i-1][j];
    }
    
}            


int main(){
    int m,n;int i,j;
    printf("input the max capacity and the number of the goods:\n");
    scanf("%d,%d",&m,&n);
    printf("Input each one(weight and value):\n");
    knap(m,n);
    printf("\n");
   for(i=0;i<=n;i++)
        for(j=0;j<=m;j++)
       {
     printf("%4d",c[i][j]);
    if(m==j) printf("\n");
    }
}

代码中，红色字体部分是自己写的，其余的参照了这篇博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_6dcd26b301013810.html

 

 　　如果你很轻松地就突破了01背包，甚至很轻松地就理解了动态规划，那么继续前进，做一下这道题目(http://acm.uestc.edu.cn/problem.php?pid=1012)。很好玩的。

//输入描述:
//输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m
//（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）
//
//从第 2 行到第 m + 1 行，第 j 行给出了编号为 j - 1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q
//
//（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 ~5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q = 0 ，
//                表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）
//
//输出描述 :
//输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。


//动态规划，(0,1)背包问题
#include<iostream>
using namespace std;

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

struct InputBuf
{
    int price;
    int weight;
    int type;
};

struct InputBuf inputBuf[60];
int sum_money = 0;
int sum_num = 0;

int countMaxvalue(int index, int money, int f)
{
    int a = 0, b = 0;
    if (index >= sum_num) return 0;
    if (inputBuf[index].type == 0)  //主件
    {
        if (money >= inputBuf[index].price)
        {
            a = countMaxvalue(index + 1, money - inputBuf[index].price, 1) + inputBuf[index].price * inputBuf[index].weight;  //买第index件物品的附件
            b = countMaxvalue(index + 1, money, 0);    //买主件
            return a > b ? a : b;
        }
        else
            return countMaxvalue(index + 1, money, 0);
    }
    else if ((inputBuf[index].type != 0) && (f == 1))  //附件，且主件必须买
    {
        if (money >= inputBuf[index].price)
        {
            a = countMaxvalue(index + 1, money - inputBuf[index].price, f) + inputBuf[index].price * inputBuf[index].weight;
            b = countMaxvalue(index + 1, money, f);
            return a > b ? a : b;
        }
    }
    else
    {
        return countMaxvalue(index + 1, money, f);
    }
    return 0;
}



int main(void)
{
    int i = 0;
    scanf("%d %d", &sum_money, &sum_num);
    for (i = 0; i < sum_num; i++)
    {
        scanf("%d %d %d", &inputBuf[i].price, &inputBuf[i].weight, &inputBuf[i].type);
    }
    printf("%d", countMaxvalue(0, sum_money, 1));
    return 0;
}