集合上的欧式投影或者欧式投影到一个集合

英文：
Euclidean projection on a set
Euclidean projection onto a set
即：近端操作(proximal operator )的一个特例。其中一个scaled function的近端操作，通过下面的公式表示:

proxλf(v)=argminx(f(x)+(1/(2λ))||x−v||22).

一个点x0∈Rn在一个集合S∈Rn上的欧式投影是这样的一个点，满足x0∈Rn到该点的距离是到集合的最短欧式距离。即：

minx||x−x0||2:x∈S

当集合S是凸集时，上述问题存在唯一解。特别地，在一个仿射子空间（特殊的凸集）上的投影是唯一的。

例子：
假定S是一个超平面。

S={x∈R3:2x1+x2−x3=1}

x0=0在集合S上的投影变成为与系数矢量a=(2,1,−1)对齐的问题。实际上，与a正交的x成分不会出现在约束中，仅会增加目标函数值。在超平面定义的等式中设置x=ta，然后求解标量t，我们得到t=1/(aTa)=1/6，因此欧式投影为：

x∗=a/(aTa)=(1/3,1/6,−1/6)

理解：
我们知道一个点到一个平面的最短距离是点与平面的垂直距离，其对应的向量为法向向量，我们知道超平面的法向量就是其系数。即两个向量平行：

(x−x0)//(2,1,−1)

由因为x0=0，所以：

x=t(2,1,−1)

将上式带入到超平面，即可求解t,因为

2x1+x2−x3=1

即：

<x,(2,1,−1)>=1

也即：

<ta,a>=1或taTa=1

参考文献：
1、https://inst.eecs.berkeley.edu/~ee127a/book/login/def_proj_general.html
2、proximal operator.