Proximal Algorithms
Proximal Algorithms:近端算法,近似算法
proximal operator:近端操作,近似操作
1 简介
1.1定义
a proper convex function:
在数值分析和优化中,一个proper convex function 函数是这样的一个凸函数,其在扩展实轴上的取值满足:
至少存在一个x ,使得f(x)<+∞
并且对于所有的x ,f(x)>−−∞
一个凸函数是适当的,也就是说,其在有效定义域内为非空的,并且不能取得−∞ .
a closed convex funciton:
一个函数f:Rn→R ,如果对于每一个α∈R ,其水平子集{x∈domf|f(x)≤α} 是一个闭集,那么我们称函数f 是闭凸函数。
令
是一个非空闭凸集。函数
也就是说,函数
函数
其中
我们经常会碰到scaled function
这也可以称作带有参数
1.2 解释
图1.1描述了近端操作。细黑线是凸函数
近端操作的定义表明,
有时称为
当
其中
因此,近端操作可以看作是广义投影。
函数
这表明,近端操作和梯度方法之间存在着紧密的联系,同时暗示着近端操作在优化中很有用,也同样表明,
最终,函数
1.3 近端算法
近端算法就是指,在求解凸优化问题中,使用了目标项(object terms)的近端操作的算法。
近端算法的优点:
1、其可以应用于一般情况下,包括函数为非平滑的情况。
2、计算快。因为可以存在函数的简单的近端操作。
3、可以用于分布式优化,因此其可以用于解决大规模问题。
4、概念和数学上简单,对于一个特定的问题,易于理解,推导和实现。
实际上,许多近端算法可以解释为其他众所周知并且广泛使用的算法的推广,像投影梯度法。
2 近端操作的性质。
2.1 Separable sum(可分的和)
如何函数
这样,计算一个可分离的函数的近端操作降为计算每一个可分离部分的近端操作,这两个操作可以独立的实现。
如果
换句话说,在这种情况下,矢量函数上的近端操作降为在计算标量函数的近端操作,我们将在第5章看到,近端操作的可分的和属性是推导近端算法并行的关键。
2.2 基本操作
这一部分当需要时,可做参考。
Postcomposition:
如何函数
Procomposion:
如何
如何
Affine addtition.
如何
Regularization.
如何
其中
参考文献:
1、https://web.stanford.edu/~boyd/papers/pdf/prox_algs.pdf
Proximal Algorithms.Neal Parikh,Stephen Boyd.
2、https://en.wikipedia.org/wiki/Proper_convex_function
3、https://en.wikipedia.org/wiki/Closed_convex_function
posted on 2016-07-18 16:19 Raby_Draby 阅读(2532) 评论(1) 编辑 收藏 举报