BZOJ 2752：[HAOI2012]高速公路(road)（线段树）
[HAOI2012]高速公路(road)
Description
Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l<r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?
Input
第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r 表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l<r<=N
Output
对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1
Sample Input
4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4
Sample Output
1/1
8/3
17/6
HINT
数据规模
所有C操作中的v的绝对值不超过10000
在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数
所有测试点的详细情况如下表所示
Test N M
1 =10 =10
2 =100 =100
3 =1000 =1000
4 =10000 =10000
5 =50000 =50000
6 =60000 =60000
7 =70000 =70000
8 =80000 =80000
9 =90000 =90000
10 =100000 =100000
分析:
为了方便，我们可以把区间看成点（即[l,l+1]区间看作点l)，对于每段询问，它的期望花费=所有情况（a前往b，a,b在[l,r]区间）的花费和/情况总数，情况总数=(r-l+1)*(r-l)/2，所以问题转化为求一段区间内所有子区间数字和的总和ans。
通过分析可得
ans=∑v[i]*(r-i+1)*(i-l+1) (l<=i<=r)
ans=∑v[i]*[r-l+1-r*l+i*(r+l)-i*i]
ans=∑v[i]*(r-l+1-r*l)+v[i]*i*(r+l)-v[i]*i*i
ans=(r-l+1-r*l)*∑v[i]+(r+l)*∑v[i]*i-∑v[i]*i^2
利用线段树维护区间中v[i],v[i]*i,v[i]*i^2各自的和。
program road; type point=record x,y,z:int64; end; var dat:array[0..400000,0..2]of int64; w:array[0..400000]of int64; sum:array[0..100000]of int64; n,m,ans,x,y,v,i:int64; c:char; t:point; procedure work(p,l,r,v:int64); begin inc(w[p],v); dat[p,0]:=dat[p,0]+v*(r-l+1); dat[p,1]:=dat[p,1]+v*(l+r)*(r-l+1) div 2; dat[p,2]:=dat[p,2]+v*(sum[r]-sum[l-1]); end; procedure down(p,l,r:int64); var mid:int64; begin mid:=(l+r) div 2; work(p*2,l,mid,w[p]); work(p*2+1,mid+1,r,w[p]); w[p]:=0; end; procedure build(p,l,r:int64); var mid:int64; begin if l=r then exit; mid:=(l+r) div 2; build(p*2,l,mid); build(p*2+1,mid+1,r); dat[p,0]:=0; dat[p,1]:=0; dat[p,2]:=0; w[p]:=0; end; procedure change(x,y,p,l,r,v:int64); var mid:int64; begin if (x<=l)and(r<=y) then work(p,l,r,v) else begin if l<r then down(p,l,r); mid:=(l+r) div 2; if x<=mid then change(x,y,p*2,l,mid,v); if y>mid then change(x,y,p*2+1,mid+1,r,v); dat[p,0]:=dat[p*2,0]+dat[p*2+1,0]; dat[p,1]:=dat[p*2,1]+dat[p*2+1,1]; dat[p,2]:=dat[p*2,2]+dat[p*2+1,2]; end; end; function query(x,y,p,l,r:int64):point; var mid,ans:int64; g,t:point; begin if (x<=l)and(r<=y) then begin g.x:=dat[p,0]; g.y:=dat[p,1]; g.z:=dat[p,2]; exit(g); end else begin if l<r then down(p,l,r); mid:=(l+r) div 2; g.x:=0; g.y:=0; g.z:=0; if x<=mid then begin t:=query(x,y,p*2,l,mid); inc(g.x,t.x); inc(g.y,t.y); inc(g.z,t.z); end; if y>mid then begin t:=query(x,y,p*2+1,mid+1,r);inc(g.x,t.x); inc(g.y,t.y); inc(g.z,t.z); end; exit(g); end; end; procedure solve(ans,x:int64); var a,b,r:int64; begin a:=ans; b:=x*(x+1) div 2; r:=a mod b; while r>0 do begin a:=b; b:=r; r:=a mod b; end; ans:=ans div b; x:=x*(x+1) div 2 div b; writeln(ans,'/',x); end; begin readln(n,m); n:=n-1; build(1,1,n); fillchar(sum,sizeof(sum),0); i:=0; while i<n do begin inc(i);sum[i]:=sum[i-1]+i*i; end; i:=0; while i<m do begin inc(i); read(c); if c='Q' then begin read(x,y); y:=y-1; t:=query(x,y,1,1,n); ans:=t.x*(-x*y+y-x+1)+t.y*(x+y)-t.z; solve(ans,y-x+1); end else begin read(x,y,v); y:=y-1; change(x,y,1,1,n,v); end; readln; end; end.
