慈善约瑟夫

Description

你一定听说过约瑟夫问题吧？即从n个人中找出惟一的幸存者。现在老约瑟夫将组织一个皆大欢喜的新游戏，假设n个人站成一圈，从第1个人开始交替的去掉游戏者，但只是暂去掉（例如，首先去掉2），直到最后剩下惟一的幸存者为止。

幸存者选出后，所有比幸存者号码高的人每人将得到1TK（一种货币），永久性的离开。其余剩下的人将重复以上的过程，比幸存者号码高的每人将得到1Tk后离开。经过这样的过程后，一旦人数不再减少，则最后剩下的那些人将得到2TK。

请你计算一下老约瑟夫一共要付出多少钱？

Analysis

题意表述不清，没有讲清Joseph游戏的关键数字，或许例如，首先去掉2是个提示，经尝试确实如此。

很明显，这就是个多轮Joseph问题，处理每轮游戏后的奖金即可。那么，单轮Joseph怎么处理呢？对于i人的游戏来看，每次处决第2个人后，人数变为i-1，只是开始的下标改变了，所以再显然不过的状态转移：

dp[i]=2+dp[i-1]

当然，因为是个环所以要加上求余处理，为了方便将序号设为0~n-1，可以在之后处理时再加上1。得出n人游戏的幸运儿序号j后，每次将奖金加上n-j，再更新n和j，直到n=j则加上2·n。

Code

#include <bits/stdc++.h>

int n,ans,dp[32768];

int main(){
	freopen("test.in","r",stdin);
	freopen("test.out","w",stdout);
	std::cin>>n;
	dp[1]=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		dp[i]=(dp[i-1]+2)%i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		dp[i]++;
	int id=dp[n];
	while(n>id){
		ans+=n-id;
		id=dp[n=id];
	}
	ans+=2*n;
	std::cout<<ans<<std::endl;
	return 0;
}