球的体积交
题目链接：https://www.zhixincode.com/contest/10/problem/H?problem_id=153
题意：在三维坐标系中，有n个球体，每个球的球心为(xi,yi,zi)，半径为ri。再给定一个球（球心为(X,Y,Z)，半径为R），求该球与其余n个球相交部分体积。（保证一开始的n个球两两之间没有重叠）
先介绍球缺的概念：
球缺是指球体被平面截去一部分后剩余的部分。截面称为球缺的底面，垂直于截面的直径被此截面截得的线段长称为球缺的高。
球缺的表面积：
（R是球体的半径，h是球缺的高，r是球缺的底面半径）
球缺的体积：
或
（R是球体的半径，h是球缺的高，r是底面半径）
与球冠区别：球缺是体，而球冠是面，故球冠只能计算表面积
后面附有大牛对球缺体积公式的证明
思路：
因为n个球两两之间没有重叠，所以考虑其中每个球(称为小球)与最后给定的那个球(称为大球)即可。分3种情况：
设 d 为两球球心之间的距离。
一、d >= R+ri ：两球不相交，即相交部分体积=0.
二、d+ri = R ：小球在大球里面，即相交部分体积 = 小球体积 = .
三、R-ri < d < R+ri ：两球相交，相交部分体积：
设 ， .
，
.
V = .
证明：https://blog.csdn.net/luyehao1/article/details/86583384
1 #include <bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 4 typedef long long ll; 5 6 const double pi = acos(-1); 7 8 const int MAX = 100 + 10; 9 const int inf = 1e9 + 7; 10 11 typedef struct { 12 double x, y, z, r; 13 }Point; 14 15 int n; 16 Point a[MAX]; 17 Point s; 18 19 //两点之间距离 20 double dis(Point p, Point q) { 21 double ans = sqrt((p.x - q.x)*(p.x - q.x) + (p.y - q.y)*(p.y - q.y) + (p.z - q.z)*(p.z - q.z)); 22 return ans; 23 } 24 25 int main() 26 { 27 int T; 28 scanf("%d", &T); 29 int Case = 1; 30 while (T--) 31 { 32 scanf("%d", &n); 33 for (int i = 0; i < n; i++) { 34 scanf("%lf%lf%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z, &a[i].r); 35 } 36 scanf("%lf%lf%lf%lf", &s.x, &s.y, &s.z, &s.r); 37 double ans = 0; 38 for (int i = 0; i < n; i++) { 39 double d = dis(s, a[i]); 40 if (d >= s.r + a[i].r) { 41 continue; 42 } 43 else if (d + a[i].r <= s.r) { 44 ans += (4.0 / 3)*pi*a[i].r*a[i].r*a[i].r; 45 } 46 else { 47 double co = (s.r*s.r + d * d - a[i].r*a[i].r) / (2.0*d*s.r); 48 double h = s.r*(1 - co); 49 ans += (1.0 / 3)*pi*(3.0*s.r - h)*h*h; 50 co = (a[i].r*a[i].r + d * d - s.r*s.r) / (2.0*d*a[i].r); 51 h = a[i].r*(1 - co); 52 ans += (1.0 / 3)*pi*(3.0*a[i].r - h)*h*h; 53 } 54 } 55 printf("Case #%d: %.10lf\n", Case++, ans); 56 } 57 return 0; 58 }
