Link-Cut-Tree

 

 

Link-Cut-Tree

wcz¹

December31,2017

¹Contactme:aiyoupass@outlook.com

 

Contents

1DynamicTreeProblems[2]2

2Link-Cut-Trees[3]3

2.1Build..................................3

2.2Access.................................6

2.3Isroot..................................6

2.4Findroot................................6

2.5Beroot.................................6

2.6Split...................................6

2.7Merge..................................7

2.8Code..................................7

3Pathoperation*[1]8

3.1Example1...............................9

4Others9

4.1Connect................................9

1

 

1DynamicTreeProblems[2]

动态树问题,即要求我们维护一个由若干棵子结点无序的有根树组成的

森林.要求这个数据结构支持对树的分割,合并,对某个点到它的根的路径的

某些操作,以及对某个点的子树进行的某些操作.

维护一个包含N个点的森林,并且支持形态和权值信息的操作.

(1).形态信息

(a).link(u,v)–添加边(u,v).

(b).cut(u,v)–删除边(u,v).

(c).find(u)–找到u所在的树.

(2).权值信息

(a).路径操作:对一条简单路径上的所有对象进行操作.

(b).树操作:对一棵树内的所有对象进行操作.

现有数据结构,

•EulerTourTrees¹

•ST-Trees²

•Top-Trees³

这几种数据结构都存在一定的局限性,因此动态树问题并没有被完全解

决.

在信息学奥赛中,我们常常会遇到动态树的简化问题.我们涉及的操作只

有对树形态的操作和对于路径的操作.因此就有一种解决动态树问题的数据

结构

Link−cut−Trees⁴

¹不支持路径操作

²不支持树权操作

³常数过大

⁴由Sleator和Tarjan发明

2

 

2Link-Cut-Trees[3]

Link-Cut-Trees,简称LCT,它对上述操作的均摊时间不超过O(logn).

它所操作的对象是森树,能实现对于树的合并与分离.

a

b

c

d

e

f

g

h

i

FormerTree

这是一颗已经构建好的树(森林)，我们用Link-Cut-Trees来维护它.

2.1Build

对于一个节点进行访问的操作称为Access;

称我们要表示的这棵树为FormerTree;

PreferredChild,如果对于节点u所在的子树中,节点v为最后访问过的

点,则称节点v为节点u的PreferredChild;

PreferredEdge,每个点到PreferredChild的边称为PreferredEdge.

preferredPath,由preferredEdge构成的不可再延伸的路径称为Preferred

Path.

3

 

a

b

c

d

e

f

g

h

i

此时a为最后一次Access的点

假若上图就是对FormerTree标记了PreferredEdge的图.

AuxiliaryTree,在每一条PreferredPath中,以路径上点的深度为关键字,用

SplayTree来维护它,就是AuxiliaryTree;

在AuxiliaryTree中,每个点的左子树中的点,都在PreferrdPath中这个点的

上方;右子树中的点都在PrefreedPath中这个点的下方.

Pathparents,用Pathparents来表示其AuxiliaryTree对应的PreferrdPath中

最高的节点;

因为FormerTree可以用若干条PrefreedEdge来表示,用每个AuxiliaryTree

表示一条preferrdEdge,那么我们最终所构建的就是一颗用ParentsEdge将

所有AuxiliaryTree连接起来的树.

因为AuxiliaryTree可以维护FormerTree的信息,因此在实际操作中,只需要

维护AuxiliaryTree.

4

 

对三条PreferrdEdge建立AuxiliaryTree

b

a

d

g

i

e

c

h

f

将所有的AuxiliaryTree用PathParent连成一棵树

b

a

d

g

e

c

h

i

f

5

 

2.2Access

Access操作是Link-CutTrees的所有操作的基础.假设调用了Access(v),

那么从点v到根结点的路径就成为一条新的PreferredPath.如果路径上经

过的某个结点u并不是parent(u)的PreferredChild,那么由于parent(u)的

PreferredChild会变为u,原本包含parent(u)的PreferredPath将不再包含结

点parent(u)及其之上的部分.

在对节点v进行一次Access操作后,那么它的PreferredChild应当消失.

先将点v旋转到它所属的AuxiliaryTree的根,如果v在v所属的Auxiliary

Tree中有右儿子(也就是v原来的PreferredChild),那么应该将v在Auxiliary

Tree中的右子树(对应着v的PreferredChild之下的PreferredPath)从Auxil-

iaryTree中分离,并设置这个新的AuxiliaryTree的PathParent为v.

然后,如果点v所属的PreferredPath并不包含根结点,设它的PathParent

为u,那么需要将u旋转到u所属的AuxiliaryTree的根,并用点v所属的

AuxiliaryTree替换到点u所属的AuxiliaryTree中点u的右子树,再将原来

点u所属的AuxiliaryTree中点u的右子树的PathParent设置为u.

如此操作,直到到达包含根结点的PreferredPath.

这是一个递归操作的过程.最终目的还是完成对preferrdEdge的修改.

2.3Isroot

在AuxiliaryTree中,如果一个点是root,那么他的Parent为NULL.

2.4Findroot

寻找点v所在AuxiliaryTree的根节点,先将v旋转到根,然后寻找其

AuxiliaryTree中最左边的点.

2.5Beroot

注意将节点v进行Access操作之后v只是变成了AuxiliaryTree的root,

但在FormerTree中仍然不是root,因为v还有左子树.所以Beroot操作的

意义在于将节点v变成FormerTree中的root.

首先进行Access(v)和Splay(v)操作,然后将v到root路径上点的深度反

转,我们面对翻转的处理方法是先打标记然后在维护Splay时处理.

2.6Split

先访问v,然后把v旋转到AuxiliaryTree的根,然后再断开v在它的所属

AuxiliaryTree中与它的左子树的连接,并设置.

6

 

2.7Merge

先访问v,然后修改v所属的AuxiliaryTree的PathParent为w,然后再次

访问v.

2.8Code

1boolisroot(intx){

2returnc[fa[x]][0]!=x&&c[fa[x]][1]!=x;

3}

4

5voidberoot(intx){

6Access(x);

7Splay(x);

8rev[x]^=1;

9}

10

11voidpushdown(intk){

12intl=c[k][0],r=c[k][1];

13if(rev[k]){

14rev[k]^=1;rev[l]^=1;rev[r]^=1;

15swap(c[k][0],c[k][1]);

16}

17}

18

19voidrotate(intx){

20inty=fa[x],z=fa[y],l,r;

21if(c[y][0]==x)l=0;

22elsel=1;r=l^1;

23if(!isroot(y))

24if(c[z][0]==y)c[z][0]=x;

25elsec[z][1]=x;

26fa[x]=z;fa[y]=x;fa[c[x][r]]=y;

27c[y][l]=c[x][r];c[x][r]=y;

28}

29

30voidsplay(intx){

31top=0;q[++top]=x;

32for(inti=x;!isroot(i);i=fa[i])

33q[++top]=fa[i];

7

 

34for(inti=top;i;i−−)pushdown(st[i]);

35while(!isroot(x)){

36inty=fa[x],z=fa[y];

37if(!isroot(y)){

38if(c[y][0]==x^c[z][0]==y)

39rotate(x);

40elserotate(y);

41}

42rotate(x);

43}

44}

45voidaccess(intx){

46for(intt=0;x;t=x,x=fa[x])

47splay(x),c[x][1]=t;

48}

49

50intfind(intx){

51access(x);splay(x);

52while(c[x][0])

53x=c[x][0];

54returnx;

55}

56voidmerge(intx,inty){

57beroot(x);access(y);splay(y);

58if(c[y][0]==x)

59c[y][0]=fa[x]=0;

60}

61voidsplit(intx,inty){

62beroot(x);fa[x]=y;

63}

3Pathoperation*[1]

针对的是对于路径的修改和查询.对于节点u和v之间路径的操作,我们

首先Beroot(u),然后Access(v),Splay(v).然后发现u,v之间的路径在Auxiliary

Tree上都位于v的左子树.然后就进行各种维护就可以了.

8

 

3.1Example1

Bzoj2002弹飞绵羊

需要维护树的分离与合并.

如何建模?我们考虑用LCT,

我们注意到如果在u位置能到达　v位置那么可以连一条边(u,v),设T为

空点即到达此点时已经跳出,则查询从u几次跳出我们可以查询在Auxiliary

Tree中u,t之间路径的长度即为答案.那么根据我们之前所提到的如何维护

路径,我们只需要Beroot(t),然后Access(u),Splay(u)答案即为size(t->le).

对于另一种操作即改变一个点所到达的点的位置,我们只需要切开原来

的边并且重新连一条边即可.

4Others

4.1Connect

对于树上路径信息的维护与修改,一般会用树链剖分来做.树链剖分是

将树划分成若干条路径并用线段树等数据结构来维护,我们可以看到树链

剖分与Link-Cut-Tree的联系与不同,都是将树转化成若干条链的方式,对

于树链剖分,它只能维护静态的树的信息,却不能对树的形态进行改变;而

Link-Cut-Tree能动态的改变树的形态,也能维护树的路径信息.例如,给出一

棵树,进行以下操作.

•求u子树和;

•将u子树加上一个数;

•求u,v之间路径和;

•将u,v之间每条边加上一个数;

像这种对树上路径进行查询修改的话我们可以用树链剖分做.

再例如,给出一棵树,进行以下操作.

•改变u,v边权.

•查询u,v路径最大值.

解法一 Lint-Cut-Tree

无疑问,这道题可以用LCT做,这两种操作都是LCT所支持的基础操

作,但是毫无疑问,因为这道题目没有涉及到更改树形态信息.而LCT依据

AuxiliaryTree实现,不得不考虑Splay巨大的常数.

9

 

解法二 树链剖分

直接用线段树来维护路径最大值.

其他解法[3]

References

[1]PoPoQQQ.Link-cut-tree.

[2]DanielD.SleatorandRobertEndreTarjan.Adatastructurefordynamictrees.

pages114--122,1981.

[3]YangZhe.Someresearchonqtreesolution.

10