笛卡尔树
笛卡尔树又称笛卡儿树，在数据结构中属于二叉树的一种。
笛卡尔树结构由Vuillmin在解决范围搜索的几何数据结构问题时提出的，从数列中构造一棵笛卡尔树可以线性时间完成，需要采用基于栈的算法来找到在该数列中的所有最近小数。由此可知，笛卡尔树是一种特定的二叉树数据结构，可由数列构造，在范围最值查询、范围top k查询（range top k queries）等问题上有广泛应用。它具有堆的有序性，中序遍历可以输出原数列。
笛卡尔树是一棵二叉树，树的每个节点有两个值，一个为key，一个为value。光看key的话，笛卡尔树是一棵二叉搜索树，每个节点的左子树的key都比它小，右子树都比它大；光看value的话，笛卡尔树有点类似堆，根节点的value是最小（或者最大）的，每个节点的value都比它的子树要大。
构造笛卡尔树的过程：
使用数据结构栈，栈中保存的始终是右链，即根结点、根结点的右儿子、根结点的右儿子的右儿子……组成的链
并且栈中从栈顶到栈底key依次减小
如果按照从后到前的顺序判断一个元素是否大于A[i]，则每次插入的时间复杂度为O(k+1)
k为本次插入中移除的右链元素个数。因为每个元素最多进出右链各一次，所以整个过程的时间复杂度为O(N)。
从前往后遍历A[i]，
1.对于每一个A[i]，从栈中找出（从栈顶往栈底遍历，或者从数组后往前遍历）第一个小于等于A[i]的元素
2.如果找到，i.parent为sta[k],同时sta[k].r=i，即i为sta[k]的右子树,
3.如果栈中存在比A[i]大的元素 这些元素肯定是出栈了，这个问题最后的代码统一表示。
同时，sta[k+1].parent=i; i.l=sta[k+1] 即sta[K+1]为i的左子树
4.最后i入栈，比i大的A[i]都自动出栈了。
例子如下。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 .....key
3 2 4 5 6 8 1 9 10 7 .....A,value
stack
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ...num
0
1 2 3 4 5
6 7 8
6 9
最后sta[0].parent=-1; 为根节点 即 6 为根节点。
这里给出的是索引从0开始的[0,n-1]
如果题目给出的是[1,n]，可以减一回到[0,n-1]上
代码：
View Code
1 #include <iostream> 2 #include <queue> 3 using namespace std; 4 const int maxnum=10; 5 6 int a[maxnum]; 7 struct node 8 { 9 int key; 10 int parent; 11 int l; 12 int r; 13 }tree[maxnum]; 14 15 16 void Init() 17 { 18 int i; 19 for(i=0;i<maxnum;i++) 20 tree[i].parent=tree[i].l=tree[i].r=-1; //初始化 21 } 22 23 int Build_Tree() 24 { 25 int i,top,k; 26 int stack[maxnum]; 27 top=-1; 28 for(i=0;i<maxnum;i++) 29 { 30 k=top; 31 while(k>=0 && a[stack[k]]>a[i]) //栈中比当前元素大的都出栈 32 k--; 33 34 if(k!=-1) //find it，栈中元素没有完全出栈，当前元素为栈顶元素的右孩子 35 { 36 tree[i].parent=stack[k]; 37 tree[stack[k]].r=i; 38 } 39 if(k<top) //出栈的元素为当前元素的左孩子 40 { 41 tree[stack[k+1]].parent=i; 42 tree[i].l=stack[k+1]; 43 } 44 45 stack[++k]=i;//当前元素入栈 46 top=k;//top指向栈顶元素 47 } 48 tree[stack[0]].parent=-1;//遍历完成后的栈顶元素就是根 49 return stack[0]; 50 } 51 52 void inorder(int node) 53 { 54 if(node!=-1) 55 { 56 inorder(tree[node].l); 57 cout<<tree[node].key<<endl; 58 inorder(tree[node].r); 59 } 60 } 61 62 void levelorder(int node) 63 { 64 queue<int> q; 65 q.push(node); 66 while(!q.empty()) 67 { 68 int k=q.front(); 69 q.pop(); 70 cout<<tree[k].key<<endl; 71 if(tree[k].l!=-1) 72 q.push(tree[k].l); 73 if(tree[k].r!=-1) 74 q.push(tree[k].r); 75 } 76 } 77 78 int main() 79 { 80 int i; 81 Init(); 82 for(i=0;i<maxnum;i++) 83 { 84 cin>>a[i]; 85 tree[i].key=a[i]; 86 } 87 88 int root=Build_Tree(); 89 90 //inorder(root); 91 //levelorder(root); 92 return 0; 93 } 94 95 /* 96 3 2 4 5 6 8 1 9 10 7 97 */
