基于“蒙提霍尔问题”（三门问题）思考现实问题中的选择方式

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问题描述

问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？如果严格按照上述的条件，即主持人清楚地知道，自己打开的那扇门后是羊，那么答案是会。不换门的话，赢得汽车的几率是1/3。换门的话，赢得汽车的几率是2/3。

初始问题分析

1. 在三门问题里面，如果大家把第二次主持人给玩家的换门机会，看成是玩家第二次选择的机会。
2. 将问题的描述改为：求，参赛者两次选择都能选中“汽车”（中奖）的概率，和参赛者只在第二次选中“汽车”（中奖）的概率。

初始问题结论

更换初始选择，会更容易中奖。因为第一次选择时做出“大概率事件的可能性”更大，所以第二次选择时切换原选择会。

问题延申

1. 单独将问题中的“主持人排除错误答案”的做法去掉，即第二次选择仍有3个门。

   • 那么再次求换门与不换门，中奖的概率其实并没有发生变化：
     P(换的情况下得到汽车) = P(先羊后车) = 2/3 * 1/2 = 1/3
     P(换的情况下得到羊) = P(先羊后羊) + P(先车后羊) = 2/3 * 1/2 + 1/3 * 1 = 2/3

2. 将问题中的“主持人排除错误答案”的做法去掉，即第二次选择仍有3个门 且 三门再次随机。

   • 那么再次求换门与不换门，中奖的概率其实同样并没有变化。

最终结论

“蒙提霍尔问题”仅能对随机事件中，有第三方对大概率事件作出排除操作的情况下，具有参考意义，即相信第一次选择为大概率事件。但当然，现实生活中，很多事件都并不是单纯的完全随机事件，我需要时刻注意的仅仅是：当出现排除大概率事件时，需要谨慎思考自己是否正在大概率事件中。