重新学——线性代数
# 参考资料
* 孟岩的3篇：
http://blog.csdn.net/myan/article/details/647511
http://blog.csdn.net/myan/article/details/649018
http://blog.csdn.net/myan/article/details/1865397
#结论总结
1. 首先有空间，空间可以容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。
2. 有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量对象运动的。
3. 运动是瞬时的，因此也被称为变换。
4. 矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。
5. 矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程。
6. 同一个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但是它们的本质是一样的，所以本征值相同。
#具体笔记
* 容纳运动（变换）是空间的本质特征
* “空间”是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。
## 线性变换（线性空间中的运动）
* 使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的特征向量
* 简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与向量的乘法施加运动——矩阵的本质是运动的描述
##矩阵
* 矩阵是运动的描述，但这种运动不是微积分中那种连续的，是跃迁的，从 A 到 B 并不经过中间的点---->“矩阵是线性空间里跃迁的描述”。
* 变换就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁---->“矩阵是线性空间里的线性变换的描述。”
* “在一个线性空间中，只要选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”----基是坐标系
* 比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身。----这个类比太形象了。同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。
### 相似矩阵
* 对于同一变换，选用不同的基会得到不同的矩阵A 和 B，即为相似矩阵。则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A = P-1BP。P就是A的基与B的基之间的变换关系。
* 有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多，如同同一头猪的照片也有美丑之分。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的矩阵，而保证这两个矩阵都是 描述了同一个线性变换。
* 矩阵也可以作为一组基（坐标系）的描述。----> 运动（对象的变换）等价于坐标系变换----> 运动是相对的，换点（坐标）和换基（坐标系）是一样的
* 矩阵MxN，一方面表明坐标系N在运动M下的变换结果，另一方面，把M当成N的前缀，当成N的环境描述，那么就是说，在M坐标系度量下，有另一个坐标系N。
## 矩阵乘法的定义，还是不太懂
1. 从变换的观点看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。
2. 从坐标系的观点看，在M坐标系中表现为N的另一个坐标系，这也归结为，对N坐标系基的每一个向量，把它在I坐标系中的坐标找出来，然后汇成一个新的矩阵。
3. 至于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为一个在M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说，其实到了这一步，已经很容易了。
综合以上1/2/3，矩阵的乘法就得那么规定，一切有根有据，绝不是哪个神经病胡思乱想出来的。
还留下一个行列式的问题。矩阵M的行列式实际上是组成M的各个向量按照平行四边形法则搭成一个n维立方体的体积。对于这一点，我只能感叹于其精妙，却无法揭开其中奥秘了。
