SICP：换零钱问题

问题描述

给了50，25,10,5,1美分的硬币，将1美元（100美分）换成零钱，一共有多少方式？

解法描述

采用递归，假定我们所考虑的可用硬币类型种类排了某种顺序：那么将总数为a的现金换成n种硬币的不同方式的数目等于：

• 将现金数a换成除第一种硬币之外的所有其他硬币的不同方式数目，加上
• 将现金数a-d换成所有种类的硬币的不同方式数目，其中的d是第一种硬币的币值。

换一种方式来讲，即方式的数目等于

1. 完全不用第一种硬币的方式的数目加上
   • 我们可以把这个问题拆成不用和用两类，这两个加起来一定是总数目
2. 用了(但不是只用)第一种硬币的方式
   • 这种方式也就等于去掉一个第一种硬币后，剩下的现金数换零钱方式的数目。
   • 用了第一种硬币换零钱，意味着使用第一种硬币的次数>=1；而如果这里去掉一个第一个硬币，剩下的现金则意味着使用第一种硬币的次数>=0，即a-d剩下的现金完全可以作为未动过手脚的现金，即我们也不知道这里面是否是完全不用第一种硬币

对于1来说，我们排除了第一种硬币的兑换方法；对于2来说，我们将总金额减少了d。

代码

(define (count-change amount)
  (cc amount 5))

(define (cc amount kinds-of-coins)
  (cond ((= amount 0) 1)
        ((or (< amount 0) (= kinds-of-coins 0)) 0)
        (else (+ (cc amount
                     (- kinds-of-coins 1))
                 (cc (- amount
                        (first-denomination kinds-of-coins))
                     kinds-of-coins)))))

(define (first-denomination kinds-of-coins)
  (cond ((= kinds-of-coins 1) 1)
        ((= kinds-of-coins 2) 5)
        ((= kinds-of-coins 3) 10)
        ((= kinds-of-coins 4) 25)
        ((= kinds-of-coins 5) 50)))