KM算法

KM算法

KM算法用来求二分图最大权完美匹配

一般对KM算法的描述，基本上可以概括成以下几个步骤：

（1） 初始化可行标杆

（2） 用匈牙利算法寻找完备匹配

（3） 若未找到完备匹配则修改可行标杆

（4） 重复（2）（3）直到找到相等子图的完备匹配

 

入门题：HDU2255，复杂度应该是O(N^3)

现在有N男N女，有些男生和女生之间互相有好感，我们将其好感程度定义为好感度，我们希望把他们两两配对，并且最后希望好感度和最大。

 

int love[MAXN][MAXN];   // 记录每个妹子和每个男生的好感度
int ex_girl[MAXN];      // 每个妹子的期望值
int ex_boy[MAXN];       // 每个男生的期望值
bool vis_girl[MAXN];    // 记录每一轮匹配匹配过的女生
bool vis_boy[MAXN];     // 记录每一轮匹配匹配过的男生
int match[MAXN];        // 记录每个男生匹配到的妹子 如果没有则为-1
int slack[MAXN];        // 记录每个汉子如果能被妹子倾心最少还需要多少期望值
 
bool dfs(int girl){
    vis_girl[girl] = true;
    for (int boy = 0; boy < N; ++boy) {
        if (vis_boy[boy]) continue; // 每一轮匹配 每个男生只尝试一次
 
        int gap = ex_girl[girl] + ex_boy[boy] - love[girl][boy];
 
        if (gap == 0) {  // 如果符合要求
            vis_boy[boy] = true;
            if (match[boy] == -1 || dfs(match[boy])) {  // 找到一个没有匹配的男生 或者该男生的妹子可以找到其他人 
                match[boy] = girl;
                return true;
            }
        }else {
            slack[boy] = min(slack[boy], gap); // slack 可以理解为该男生要得到女生的倾心 还需多少期望值 取最小值
        }
    }
    return false;
}
 
int KM(){
    memset(match, -1, sizeof match);    // 初始每个男生都没有匹配的女生
    memset(ex_boy, 0, sizeof ex_boy);   // 初始每个男生的期望值为0
    // 每个女生的初始期望值是与她相连的男生最大的好感度
    for (int i = 0; i < N; ++i) {
        ex_girl[i] = love[i][0];
        for (int j = 1; j < N; ++j) {
            ex_girl[i] = max(ex_girl[i], love[i][j]);
        }
    }
    // 尝试为每一个女生解决归宿问题
    for (int i = 0; i < N; ++i) { 
        fill(slack, slack + N, INF);    // 因为要取最小值 初始化为无穷大
        while (1) {
            // 为每个女生解决归宿问题的方法是 ：如果找不到就降低期望值，直到找到为止
            // 记录每轮匹配中男生女生是否被尝试匹配过
            memset(vis_girl, false, sizeof vis_girl);
            memset(vis_boy, false, sizeof vis_boy);
            if (dfs(i)) break;  // 找到归宿 退出
 
            // 如果不能找到 就降低期望值
            // 任意一个参与匹配女生能换到任意一个这轮没有被选择过的男生所需要降低的最小值
            int d = INF; // 最小可降低的期望值
            for (int j = 0; j < N; ++j)
            if (!vis_boy[j]) d = min(d, slack[j]);
            for (int j = 0; j < N; ++j) {
                // 所有访问过的女生降低期望值
                if (vis_girl[j]) ex_girl[j] -= d;
                // 所有访问过的男生增加期望值
                if (vis_boy[j]) ex_boy[j] += d;
                // 没有访问过的boy 因为girl们的期望值降低，距离得到女生倾心又进了一步
                else slack[j] -= d;
            }
        }
    }  
    int res = 0; // 匹配完成 求出所有配对的好感度的和
    for (int i = 0; i < N; ++i)
        res += love[match[i]][i];
    return res;
}