poj2480 Longge's problem

欲求 \(\sum_{i=1}^n (i,n)\)。

显然 \((i,n) \mid n\)。记 \(d=(i,n)\)，枚举 \(d\)，有多少个 \(i \in [1,n]\) 使得 \((i,n)=d\) 呢？换句话说有多少个 \(i \in [1,\lfloor n/d \rfloor]\) 使得 \((i,\lfloor n/d \rfloor) = 1\) 呢？显然是 \(\varphi(\lfloor n/d \rfloor)\) 个。

答案就是 \(\sum_{d|n}d\cdot \varphi(n/d)\)。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n, T;
ll ans;
ll phi(ll x){
	ll re=x;
	for(ll i=2; i*i<=x; i++)
		if(x%i==0){
			re = re / i * (i - 1);
			while(x%i==0)	x /= i;
		}
	if(x>1)	re = re / x * (x - 1);
	return re;
}
int main(){
	while(scanf("%d", &n)!=EOF){
		ans = 0;
		for(ll i=1; i*i<=n; i++)
			if(n%i==0){
				ans += (ll)i * phi(n/i);
				if(i*i!=n)	ans += (ll)(n/i) * phi(i);
			}
		printf("%lld\n", ans);
	}
	return 0;
}