LSTM模型与前向反向传播算法

　　　　在循环神经网络(RNN)模型与前向反向传播算法中，我们总结了对RNN模型做了总结。由于RNN也有梯度消失的问题，因此很难处理长序列的数据，大牛们对RNN做了改进，得到了RNN的特例LSTM（Long Short-Term Memory），它可以避免常规RNN的梯度消失，因此在工业界得到了广泛的应用。下面我们就对LSTM模型做一个总结。

1. 从RNN到LSTM

　　　　在RNN模型里，我们讲到了RNN具有如下的结构，每个序列索引位置t都有一个隐藏状态 $h^{(t)}$ 。

　　　　如果我们略去每层都有的 $o^{(t)}, L^{(t)}, y^{(t)}$ ，则RNN的模型可以简化成如下图的形式：

　　　　图中可以很清晰看出在隐藏状态 $h^{(t)}$ 由 $x^{(t)}$ 和 $h^{(t-1)}$ 得到。得到 $h^{(t)}$ 后一方面用于当前层的模型损失计算，另一方面用于计算下一层的 $h^{(t+1)}$ 。

　　　　由于RNN梯度消失的问题，大牛们对于序列索引位置t的隐藏结构做了改进，可以说通过一些技巧让隐藏结构复杂了起来，来避免梯度消失的问题，这样的特殊RNN就是我们的LSTM。由于LSTM有很多的变种，这里我们以最常见的LSTM为例讲述。LSTM的结构如下图：

　　　　可以看到LSTM的结构要比RNN的复杂的多，真佩服牛人们怎么想出来这样的结构，然后这样居然就可以解决RNN梯度消失的问题？由于LSTM怎么可以解决梯度消失是一个比较难讲的问题，我也不是很熟悉，这里就不多说，重点回到LSTM的模型本身。

2. LSTM模型结构剖析

　　　　上面我们给出了LSTM的模型结构，下面我们就一点点的剖析LSTM模型在每个序列索引位置t时刻的内部结构。

　　　　从上图中可以看出，在每个序列索引位置t时刻向前传播的除了和RNN一样的隐藏状态 $h^{(t)}$ ，还多了另一个隐藏状态，如图中上面的长横线。这个隐藏状态我们一般称为细胞状态(Cell State)，记为 $C^{(t)}$ 。如下图所示：

　　　　除了细胞状态，LSTM图中还有了很多奇怪的结构，这些结构一般称之为门控结构(Gate)。LSTM在在每个序列索引位置t的门一般包括遗忘门，输入门和输出门三种。下面我们就来研究上图中LSTM的遗忘门，输入门和输出门以及细胞状态。

2.1 LSTM之遗忘门

　　　　遗忘门（forget gate）顾名思义，是控制是否遗忘的，在LSTM中即以一定的概率控制是否遗忘上一层的隐藏细胞状态。遗忘门子结构如下图所示：

　　　　图中输入的有上一序列的隐藏状态 $h^{(t-1)}$ 和本序列数据 $x^{(t)}$ ，通过一个激活函数，一般是sigmoid，得到遗忘门的输出 $f^{(t)}$ 。由于sigmoid的输出 $f^{(t)}$ 在[0,1]之间，因此这里的输出f^{(t)}代表了遗忘上一层隐藏细胞状态的概率。用数学表达式即为： $f^{(t)} = \sigma(W_fh^{(t-1)} + U_fx^{(t)} + b_f)$

　　　　其中 $W_f, U_f, b_f$ 为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。 $\sigma$ 为sigmoid激活函数。

2.2 LSTM之输入门

　　　　输入门（input gate）负责处理当前序列位置的输入，它的子结构如下图：

　　　　从图中可以看到输入门由两部分组成，第一部分使用了sigmoid激活函数，输出为 $i^{(t)}$ ,第二部分使用了tanh激活函数，输出为 $a^{(t)}$ , 两者的结果后面会相乘再去更新细胞状态。用数学表达式即为： $i^{(t)} = \sigma(W_ih^{(t-1)} + U_ix^{(t)} + b_i)$ $a^{(t)} =tanh(W_ah^{(t-1)} + U_ax^{(t)} + b_a)$

　　　　其中 $W_i, U_i, b_i, W_a, U_a, b_a,$ 为线性关系的系数和偏倚，和RNN中的类似。 $\sigma$ 为sigmoid激活函数。

2.3 LSTM之细胞状态更新

　　　　在研究LSTM输出门之前，我们要先看看LSTM之细胞状态。前面的遗忘门和输入门的结果都会作用于细胞状态 $C^{(t)}$ 。我们来看看从细胞状态 $C^{(t-1)}$ 如何得到 $C^{(t)}$ 。如下图所示：

　　　　细胞状态 $C^{(t)}$ 由两部分组成，第一部分是 $C^{(t-1)}$ 和遗忘门输出 $f^{(t)}$ 的乘积，第二部分是输入门的 $i^{(t)}$ 和 $a^{(t)}$ 的乘积，即： $C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot f^{(t)} + i^{(t)} \odot a^{(t)}$

　　　　其中， $\odot$ 为Hadamard积，在DNN中也用到过。

2.4 LSTM之输出门

　　　　有了新的隐藏细胞状态 $C^{(t)}$ ，我们就可以来看输出门了，子结构如下：

　　　　从图中可以看出，隐藏状态 $h^{(t)}$ 的更新由两部分组成，第一部分是 $o^{(t)}$ , 它由上一序列的隐藏状态 $h^{(t-1)}$ 和本序列数据 $x^{(t)}$ ，以及激活函数sigmoid得到，第二部分由隐藏状态 $C^{(t)}$ 和tanh激活函数组成, 即： $o^{(t)} = \sigma(W_oh^{(t-1)} + U_ox^{(t)} + b_o)$ $h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})$

　　　　通过本节的剖析，相信大家对于LSTM的模型结构已经有了解了。当然，有些LSTM的结构和上面的LSTM图稍有不同，但是原理是完全一样的。

3. LSTM前向传播算法

　　　　现在我们来总结下LSTM前向传播算法。LSTM模型有两个隐藏状态 $h^{(t)}, C^{(t)}$ ，模型参数几乎是RNN的4倍，因为现在多了 $W_f, U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o$ 这些参数。

　　　　前向传播过程在每个序列索引位置的过程为：

　　　　1）更新遗忘门输出： $f^{(t)} = \sigma(W_fh^{(t-1)} + U_fx^{(t)} + b_f)$

　　　　2）更新输入门两部分输出： $i^{(t)} = \sigma(W_ih^{(t-1)} + U_ix^{(t)} + b_i)$ $a^{(t)} = tanh(W_ah^{(t-1)} + U_ax^{(t)} + b_a)$

　　　　3）更新细胞状态： $C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot f^{(t)} + i^{(t)} \odot a^{(t)}$

　　　　4）更新输出门输出： $o^{(t)} = \sigma(W_oh^{(t-1)} + U_ox^{(t)} + b_o)$ $h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})$

　　　　5）更新当前序列索引预测输出： $\hat{y}^{(t)} = \sigma(Vh^{(t)} + c)$

4. LSTM反向传播算法推导关键点

　　　　有了LSTM前向传播算法，推导反向传播算法就很容易了，思路和RNN的反向传播算法思路一致，也是通过梯度下降法迭代更新我们所有的参数，关键点在于计算所有参数基于损失函数的偏导数。

　　　　在RNN中，为了反向传播误差，我们通过隐藏状态 $h^{(t)}$ 的梯度 $\delta^{(t)}$ 一步步向前传播。在LSTM这里也类似。只不过我们这里有两个隐藏状态 $h^{(t)}$ 和 $C^{(t)}$ 。这里我们定义两个 $\delta$ ，即： $\delta_h^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}$ $\delta_C^{(t)} = \frac{\partial L}{\partial C^{(t)}}$

　　　　为了便于推导，我们将损失函数 $L(t)$ 分成两块，一块是时刻 $t$ 位置的损失 $l(t)$ ，另一块是时刻 $t$ 之后损失 $L(t+1)$ ，即： $L(t) = \begin{cases} l(t) + L(t+1) & \text{if} \, t < \tau \\ l(t) & \text{if} \, t = \tau\end{cases}$ 　　　　

　　　　而在最后的序列索引位置 $\tau$ 的 $\delta_h^{(\tau)}$ 和 $\delta_C^{(\tau)}$ 为： $\delta_h^{(\tau)} =(\frac{\partial o^{(\tau)}}{\partial h^{(\tau)}})^T\frac{\partial L^{(\tau)}}{\partial o^{(\tau)}} = V^T(\hat{y}^{(\tau)} - y^{(\tau)})$ $\delta_C^{(\tau)} =(\frac{\partial h^{(\tau)}}{\partial C^{(\tau)}})^T\frac{\partial L^{(\tau)}}{\partial h^{(\tau)}} = \delta_h^{(\tau)} \odot o^{(\tau)} \odot (1 - tanh^2(C^{(\tau)}))$

　　　　接着我们由 $\delta_C^{(t+1)},\delta_h^{(t+1)}$ 反向推导 $\delta_h^{(t)}, \delta_C^{(t)}$ 。

　　　　 $\delta_h^{(t)}$ 的梯度由本层t时刻的输出梯度误差和大于t时刻的误差两部分决定，即： $\delta_h^{(t)} =\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}} =\frac{\partial l(t)}{\partial h^{(t)}} + ( \frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}})^T\frac{\partial L(t+1)}{\partial h^{(t+1)}} = V^T(\hat{y}^{(t)} - y^{(t)}) + (\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}})^T\delta_h^{(t+1)}$

　　　　整个LSTM反向传播的难点就在于 $\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}$ 这部分的计算。仔细观察，由于 $h^{(t)} = o^{(t)} \odot tanh(C^{(t)})$ , 在第一项 $o^{(t)}$ 中，包含一个 $h$ 的递推关系，第二项 $tanh(C^{(t)})$ 就复杂了， $tanh$ 函数里面又可以表示成： $C^{(t)} = C^{(t-1)} \odot f^{(t)} + i^{(t)} \odot a^{(t)}$

　　　　 $tanh$ 函数的第一项中， $f^{(t)}$ 包含一个 $h$ 的递推关系，在 $tanh$ 函数的第二项中， $i^{(t)}$ 和 $a^{(t)}$ 都包含 $h$ 的递推关系，因此，最终 $\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}}$ 这部分的计算结果由四部分组成。即：

$\Delta C = o^{(t+1)} \odot [1-tanh^2(C^{(t+1)})]$

$\frac{\partial h^{(t+1)}}{\partial h^{(t)}} = diag[o^{(t+1)} \odot (1-o^{(t+1)}) \odot tanh(C^{(t+1)})]W_o + diag[\Delta C \odot f^{(t+1)} \odot (1-f^{(t+1)}) \odot C^{(t)}] W_f+ diag \{ \Delta C \odot i^{(t+1)} \odot [1-(a^{(t+1)})^2] \} W_a + diag [\Delta C \odot a^{(t+1)} \odot i^{(t+1)} \odot (1-i^{(t+1)})]W_i$

　　　　而 $\delta_C^{(t)}$ 的反向梯度误差由前一层 $\delta_C^{(t+1)}$ 的梯度误差和本层的从 $h^{(t)}$ 传回来的梯度误差两部分组成，即： $\delta_C^{(t)} =(\frac{\partial C^{(t+1)}}{\partial C^{(t)}} )^T\frac{\partial L}{\partial C^{(t+1)}} + (\frac{\partial h^{(t)}}{\partial C^{(t)}} )^T\frac{\partial L}{\partial h^{(t)}}= (\frac{\partial C^{(t+1)}}{\partial C^{(t)}} )^T\delta_C^{(t+1)} + \delta_h^{(t)} \odot o^{(t)} \odot (1 - tanh^2(C^{(t)})) = \delta_C^{(t+1)} \odot f^{(t+1)} + \delta_h^{(t)} \odot o^{(t)} \odot (1 - tanh^2(C^{(t)}))$

　　　　有了 $\delta_h^{(t)}$ 和 $\delta_C^{(t)}$ ，计算这一大堆参数的梯度就很容易了，这里只给出 $W_f$ 的梯度计算过程，其他的 $U_f, b_f, W_a, U_a, b_a, W_i, U_i, b_i, W_o, U_o, b_o，V, c$ 的梯度大家只要照搬就可以了。 $\frac{\partial L}{\partial W_f} =\sum\limits_{t=1}^{\tau} [\delta_C^{(t)} \odot C^{(t-1)} \odot f^{(t)}\odot(1-f^{(t)})] (h^{(t-1)})^T$