Lasso回归算法： 坐标轴下降法与最小角回归法小结
前面的文章对线性回归做了一个小结，文章在这： 线性回归原理小结。里面对线程回归的正则化也做了一个初步的介绍。提到了线程回归的L2正则化-Ridge回归，以及线程回归的L1正则化-Lasso回归。但是对于Lasso回归的解法没有提及，本文是对该文的补充和扩展。以下都用矩阵法表示，如果对于矩阵分析不熟悉，推荐学习张贤达的《矩阵分析与应用》。
1. 回顾线性回归
首先我们简要回归下线性回归的一般形式：
\(h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X}) = \mathbf{X\theta}\)
需要极小化的损失函数是：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)
如果用梯度下降法求解，则每一轮\(\theta\)迭代的表达式是：
\(\mathbf\theta= \mathbf\theta - \alpha\mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)
其中\(\alpha\)为步长。
如果用最小二乘法，则\(\theta\)的结果是：
\( \mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y} \)
2. 回顾Ridge回归
由于直接套用线性回归可能产生过拟合，我们需要加入正则化项，如果加入的是L2正则化项，就是Ridge回归，有时也翻译为脊回归。它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项，和一个调节线性回归项和正则化项权重的系数\(\alpha\)。损失函数表达式如下：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \frac{1}{2}\alpha||\theta||_2^2\)
其中\(\alpha\)为常数系数，需要进行调优。\(||\theta||_2\)为L2范数。
Ridge回归的解法和一般线性回归大同小异。如果采用梯度下降法，则每一轮\(\theta\)迭代的表达式是：
\(\mathbf\theta= \mathbf\theta -\beta (\mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \alpha\theta)\)
其中\(\beta\)为步长。
如果用最小二乘法，则\(\theta\)的结果是：
\(\mathbf{\theta = (X^TX + \alpha E)^{-1}X^TY}\)
其中E为单位矩阵。
模型变量多的缺点呢？有，这就是下面说的Lasso回归。
3. 初识Lasso回归
Lasso回归有时也叫做线性回归的L1正则化，和Ridge回归的主要区别就是在正则化项，Ridge回归用的是L2正则化，而Lasso回归用的是L1正则化。Lasso回归的损失函数表达式如下：
\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2n}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) + \alpha||\theta||_1\)
其中n为样本个数，\(\alpha\)为常数系数，需要进行调优。\(||\theta||_1\)为L1范数。
4. 用坐标轴下降法求解Lasso回归
坐标轴下降法顾名思义，是沿着坐标轴的方向去下降，这和梯度下降不同。梯度下降是沿着梯度的负方向下降。不过梯度下降和坐标轴下降的共性就都是迭代法，通过启发式的方式一步步迭代求解函数的最小值。
坐标轴下降法的数学依据主要是这个结论（此处不做证明）：一个可微的凸函数\(J(\theta)\), 其中\(\theta\)是nx1的向量，即有n个维度。如果在某一点\(\overline\theta\)，使得\(J(\theta)\)在每一个坐标轴\(\overline\theta_i\)(i = 1,2,...n)上都是最小值，那么\(J(\overline\theta_i)\)就是一个全局的最小值。
于是我们的优化目标就是在\(\theta\)的n个坐标轴上(或者说向量的方向上)对损失函数做迭代的下降，当所有的坐标轴上的\(\theta_i\)(i = 1,2,...n)都达到收敛时，我们的损失函数最小，此时的\(\theta\)即为我们要求的结果。
下面我们看看具体的算法过程：
1. 首先，我们把\(\theta\)向量随机取一个初值。记为\(\theta^{(0)}\) ，上面的括号里面的数字代表我们迭代的轮数，当前初始轮数为0.
2. 对于第k轮的迭代。我们从\(\theta_1^{(k)}\)开始，到\(\theta_n^{(k)}\)为止，依次求\(\theta_i^{(k)}\)。\(\theta_i^{(k)}\)的表达式如下：
\( \theta_i^{(k)} \in \underbrace{argmin}_{\theta_i} J(\theta_1^{(k)}, \theta_2^{(k)}, ... \theta_{i-1}^{(k)}, \theta_i, \theta_{i+1}^{(k-1)}, ..., \theta_n^{(k-1)})\)
也就是说\( \theta_i^{(k)} \)是使\(J(\theta_1^{(k)}, \theta_2^{(k)}, ... \theta_{i-1}^{(k)}, \theta_i, \theta_{i+1}^{(k-1)}, ..., \theta_n^{(k-1)})\)最小化时候的\(\theta_i\)的值。此时\(J(\theta)\)只有\( \theta_i^{(k)} \)是变量，其余均为常量，因此最小值容易通过求导或者一维搜索求得。
如果上面这个式子不好理解，我们具体一点，在第k轮，\(\theta\)向量的n个维度的迭代式如下：
\( \theta_1^{(k)} \in \underbrace{argmin}_{\theta_1} J(\theta_1, \theta_2^{(k-1)}, ... , \theta_n^{(k-1)})\)
\( \theta_2^{(k)} \in \underbrace{argmin}_{\theta_2} J(\theta_1^{(k)}, \theta_2, \theta_3^{(k-1)}... , \theta_n^{(k-1)})\)
...
\( \theta_n^{(k)} \in \underbrace{argmin}_{\theta_n} J(\theta_1^{(k)}, \theta_2^{(k)}, ... , \theta_{n-1}^{(k)}, \theta_n)\)
3. 检查\(\theta^{(k)}\)向量和\(\theta^{(k-1)}\)向量在各个维度上的变化情况，如果在所有维度上变化都足够小，那么\(\theta^{(k)}\)即为最终结果，否则转入2，继续第k+1轮的迭代。
以上就是坐标轴下降法的求极值过程，可以和梯度下降做一个比较：
5. 用最小角回归法求解Lasso回归
第四节介绍了坐标轴下降法求解Lasso回归的方法，此处再介绍另一种常用方法， 最小角回归法(Least Angle Regression， LARS)。
在介绍最小角回归前，我们先看看两个预备算法，好吧，这个算法真没有那么好讲。
5.1 前向选择（Forward Selection）算法
第一个预备算法是前向选择（Forward Selection）算法。
前向选择算法的原理是是一种典型的贪心算法。要解决的问题是对于:
\(\mathbf{Y = X\theta}\)这样的线性关系，如何求解系数向量\(\mathbf{\theta}\)的问题。其中\(\mathbf{Y}\)为 mx1的向量，\(\mathbf{X}\)为mxn的矩阵，\(\mathbf{\theta}\)为nx1的向量。m为样本数量，n为特征维度。
把 矩阵\(\mathbf{X}\)看做n个mx1的向量\(\mathbf{X_i}\)(i=1,2,...n)，在\(\mathbf{Y}\)的\(\mathbf{X}\)变量\(\mathbf{X_i}\)(i =1,2,...n)中，选择和目标\(\mathbf{Y}\)最为接近(余弦距离最大)的一个变量\(\mathbf{X_k}\)，用\(\mathbf{X_k}\)来逼近\(\mathbf{Y}\),得到下式：
\(\overline{\mathbf{Y}} = \mathbf{X_k\theta_k}\)
5.2 前向梯度（Forward Stagewise）算法
第二个预备算法是前向梯度（Forward Stagewise）算法。
前向梯度算法和前向选择算法有类似的地方，也是在\(\mathbf{Y}\)的\(\mathbf{X}\)变量\(\mathbf{X_i}\)(i =1,2,...n)中，选择和目标\(\mathbf{Y}\)最为接近(余弦距离最大)的一个变量\(\mathbf{X_k}\)，用\(\mathbf{X_k}\)来逼近\(\mathbf{Y}\)，但是前向梯度算法不是粗暴的用投影，而是每次在最为接近的自变量\(\mathbf{X_t}\)的方向移动一小步，然后再看残差\(\mathbf{Y_{yes}}\)和哪个\(\mathbf{X_i}\)(i =1,2,...n)最为接近。此时我们也不会把\(\mathbf{X_t}\) 去除，因为我们只是前进了一小步，有可能下面最接近的自变量还是\(\mathbf{X_t}\)。如此进行下去，直到残差\(\mathbf{Y_{yes}} \)减小到足够小，算法停止。
有没有折中的办法可以综合前向梯度算法和前向选择算法的优点，做一个折中呢？有！这就是终于要出场的最小角回归法。
5.3 最小角回归(Least Angle Regression， LARS)算法
好吧，最小角回归(Least Angle Regression， LARS)算法终于出场了。最小角回归法对前向梯度算法和前向选择算法做了折中，保留了前向梯度算法一定程度的精确性，同时简化了前向梯度算法一步步迭代的过程。具体算法是这样的：
首先，还是找到与因变量\(\mathbf{Y}\)最接近或者相关度最高的自变量\(\mathbf{X_k}\)，使用类似于前向梯度算法中的残差计算方法，得到新的目标\(\mathbf{Y_{yes}}\)，此时不用和前向梯度算法一样小步小步的走。而是直接向前走直到出现一个\(\mathbf{X_t}\)，使得\(\mathbf{X_t}\)和\(\mathbf{Y_{yes}}\)的相关度和\(\mathbf{X_k}\)与\(\mathbf{Y_{yes}}\)的相关度是一样的，此时残差\(\mathbf{Y_{yes}}\)就在\(\mathbf{X_t}\)和\(\mathbf{X_k}\)的角平分线方向上，此时我们开始沿着这个残差角平分线走，直到出现第三个特征\(\mathbf{X_p}\)和\(\mathbf{Y_{yes}}\)的相关度足够大的时候，即\(\mathbf{X_p}\)到当前残差\(\mathbf{Y_{yes}}\)的相关度和\(\theta_t\)，\(\theta_k\)与\(\mathbf{Y_{yes}}\)的一样。将其也叫入到\(\mathbf{Y}\)的逼近特征集合中，并用\(\mathbf{Y}\)的逼近特征集合的共同角分线，作为新的逼近方向。以此循环，直到\(\mathbf{Y_{yes}}\)足够的小，或者说所有的变量都已经取完了，算法停止。此时对应的系数\(\theta\)即为最终结果。
当\(\theta\)只有2维时，例子如上图，和\(\mathbf{Y}\)最接近的是\(\mathbf{X_1}\)，首先在\(\mathbf{X_1}\)上面走一段距离，一直到残差在\(\mathbf{X_1}\)和\(\mathbf{X_2}\)的角平分线上，此时沿着角平分线走，直到残差最够小时停止，此时对应的系数\(\beta\)即为最终结果。此处\(\theta\)计算设计较多矩阵运算，这里不讨论。
最小角回归法是一个适用于高维数据的回归算法，其主要的优点有：
1）特别适合于特征维度n 远高于样本数m的情况。
2）算法的最坏计算复杂度和最小二乘法类似，但是其计算速度几乎和前向选择算法一样
3）可以产生分段线性结果的完整路径，这在模型的交叉验证中极为有用
主要的缺点是：
由于LARS的迭代方向是根据目标的残差而定，所以该算法对样本的噪声极为敏感。
6. 总结
Lasso回归是在ridge回归的基础上发展起来的，如果模型的特征非常多，需要压缩，那么Lasso回归是很好的选择。一般的情况下，普通的线性回归模型就够了。
另外，本文对最小角回归法怎么求具体的\(\theta\)参数值没有提及，仅仅涉及了原理，如果对具体的算计推导有兴趣，可以参考Bradley Efron的论文《Least Angle Regression》，网上很容易找到。
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