最小二乘法小结
最小二乘法是用来做函数拟合或者求函数极值的方法。在机器学习，尤其是回归模型中，经常可以看到最小二乘法的身影，这里就对我对最小二乘法的认知做一个小结。
1.最小二乘法的原理与要解决的问题
最小二乘法是由勒让德在19世纪发现的，原理的一般形式很简单，当然发现的过程是非常艰难的。形式如下式：$$目标函数 = \sum\limits（观测值-理论值）^2$$
观测值就是我们的多组样本，理论值就是我们的假设拟合函数。目标函数也就是在机器学习中常说的损失函数，我们的目标是得到使目标函数最小化时候的拟合函数的模型。举一个最简单的线性回归的简单例子，比如我们有m个只有一个特征的样本：
\((x^{(1)},y^{(1)}), (x^{(2)},y^{(2)},...(x^{(m)},y^{(m)})\)
样本采用下面的拟合函数：
\(h_\theta(x) = \theta_0 + \theta_1 x\)
这样我们的样本有一个特征x，对应的拟合函数有两个参数\(\theta_0 和 \theta_1\)需要求出。
我们的目标函数为：
\(J(\theta_0, \theta_1) = \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - h_\theta(x^{(i)})^2 = \sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)})^2 \)
用最小二乘法做什么呢，使\(J(\theta_0, \theta_1)\)最小，求出使\(J(\theta_0, \theta_1)\)最小时的\(\theta_0 和 \theta_1\)，这样拟合函数就得出了。
那么，最小二乘法怎么才能使\(J(\theta_0, \theta_1)\)最小呢？
2.最小二乘法的代数法解法
上面提到要使\(J(\theta_0, \theta_1)\)最小，方法就是对\(\theta_0 和 \theta_1\)分别来求偏导数，令偏导数为0，得到一个关于\(\theta_0 和 \theta_1\)的二元方程组。求解这个二元方程组，就可以得到\(\theta_0 和 \theta_1\)的值。下面我们具体看看过程。
\(J(\theta_0, \theta_1)对\theta_0\)求导，得到如下方程：
\(\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)}) = 0 \) ①
\(J(\theta_0, \theta_1)对\theta_1\)求导，得到如下方程：
\(\sum\limits_{i=1}^{m}(y^{(i)} - \theta_0 - \theta_1 x^{(i)})x^{(i)} = 0 \) ②
①和②组成一个二元一次方程组，容易求出\(\theta_0 和 \theta_1\)的值：
\(\theta_0 = \sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)} - \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} \Bigg/ m\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2 - \big(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2\)
\(\theta_1 = m\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}y^{(i)} - \sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)}\sum\limits_{i=1}^{m}y^{(i)} \Bigg/ m\sum\limits_{i=1}^{m}\big(x^{(i)})^2 - \big(\sum\limits_{i=1}^{m}x^{(i)})^2\)
这个方法很容易推广到多个样本特征的线性拟合。
拟合函数表示为 \(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n}x_{n}\), 其中\(\theta_i \) (i = 0,1,2... n)为模型参数，\(x_i \) (i = 0,1,2... n)为每个样本的n个特征值。这个表示可以简化，我们增加一个特征\(x_0 = 1 \) ，这样拟合函数表示为：
\(h_\theta(x_0, x_1, ...x_n) = \sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}\)。
损失函数表示为：
\(J(\theta_0, \theta_1..., \theta_n) = \sum\limits_{j=1}^{m}(h_\theta(x_0^{(j)}), x_1^{(j)}, ...x_n^{(j)})) - y^{(j)}))^2 = \sum\limits_{j=1}^{m}(\sum\limits_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}^{(j)}- y^{(j)})^2 \)
利用损失函数分别对\(\theta_i\)(i=0,1,...n)求导,并令导数为0可得：
\(\sum\limits_{j=0}^{m}(\sum\limits_{i=0}^{n}(\theta_{i}x_{i}^{(j)} - y^{(j)})x_i^{(j)}\) = 0 (i=0,1,...n)
这样我们得到一个N+1元一次方程组，这个方程组有N+1个方程，求解这个方程，就可以得到所有的N+1个未知的\(\theta\)。
这个方法很容易推广到多个样本特征的非线性拟合。原理和上面的一样，都是用损失函数对各个参数求导取0，然后求解方程组得到参数值。这里就不累述了。
3.最小二乘法的矩阵法解法
矩阵法比代数法要简洁，且矩阵运算可以取代循环，所以现在很多书和机器学习库都是用的矩阵法来做最小二乘法。
这里用上面的多元线性回归例子来描述矩阵法解法。
假设函数\(h_\theta(x_1, x_2, ...x_n) = \theta_0 + \theta_{1}x_1 + ... + \theta_{n-1}x_{n-1}\)的矩阵表达方式为：
\(h_\mathbf{\theta}(\mathbf{x}) = \mathbf{X\theta}\)
其中， 假设函数\(h_\mathbf{\theta}(\mathbf{X})\)为mx1的向量,\(\mathbf{\theta}\)为nx1的向量，里面有n个代数法的模型参数。\(\mathbf{X}\)为mxn维的矩阵。m代表样本的个数，n代表样本的特征数。
损失函数定义为\(J(\mathbf\theta) = \frac{1}{2}(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y})\)
其中\(\mathbf{Y}\)是样本的输出向量，维度为mx1. \(\frac{1}{2}\)在这主要是为了求导后系数为1，方便计算。
根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对\(\mathbf{\theta}\)向量求导取0。结果如下式：
\(\frac{\partial}{\partial\mathbf\theta}J(\mathbf\theta) = \mathbf{X}^T(\mathbf{X\theta} - \mathbf{Y}) = 0 \)
这里面用到了矩阵求导链式法则，和两个个矩阵求导的公式。
公式1：\(\frac{\partial}{\partial\mathbf{x}}(\mathbf{x^Tx}) =2\mathbf{x}\;\;x为向量\)
公式2：\(\nabla_Xf(AX+B) = A^T\nabla_Yf,\;\; Y=AX+B,\;\;f(Y)为标量\)
对上述求导等式整理后可得：
\( \mathbf{X^{T}X\theta} = \mathbf{X^{T}Y} \)
两边同时左乘\((\mathbf{X^{T}X})^{-1}\)可得：
\( \mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y} \)
这样我们就一下子求出了\(\theta\)向量表达式的公式，免去了代数法一个个去求导的麻烦。只要给了数据,我们就可以用\( \mathbf{\theta} = (\mathbf{X^{T}X})^{-1}\mathbf{X^{T}Y} \)算出\(\theta\)。
4.最小二乘法的局限性和适用场景
从上面可以看出，最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。
首先，最小二乘法需要计算\(\mathbf{X^{T}X}\)的逆矩阵，有可能它的逆矩阵不存在，这样就没有办法直接用最小二乘法了，此时梯度下降法仍然可以使用。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。让\(\mathbf{X^{T}X}\)的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。
第二，当样本特征n非常的大的时候，计算\(\mathbf{X^{T}X}\)的逆矩阵是一个非常耗时的工作（nxn的矩阵求逆），甚至不可行。此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。
第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。
第四，讲一些特殊情况。当样本量m很少，小于特征数n的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。当样本量m等于特征数n的时候，用方程组求解就可以了。当m大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用与最小二乘法的场景了。
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