图像处理之基础---最小二乘积

最小2乘法

 

 

最小2乘法直线拟合

在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x₁, y₁、x₂, y₂... x_m , y_m)；将这些数据描绘在x -y直角座标系中(如图1),若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。 

 

Y_计= a₀ + a₁ X 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(式1-1) 
其中：a₀、a₁是任意实数 
为建立这直线方程就要确定a₀和a₁，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y_计=　a₀+　a₁X)的离差(Y_i-　Y_计)的平方和｀〔∑(Y_i - Y_计)²〕最小为“优化判据”。 
令: φ = ∑(Y_i- Y_计)²　　　　　　　　　　　　　　　(式1-2) 
把(式1-1)代入(式1-2)中得: 
φ = ∑(Y_i - a₀ - a₁ X_i)² 　　　　　　　　　　　　　(式1-3) 
当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。 

 

最小二乘法2次曲线拟合应用已有的采样时间点，再现这些点所描述的2次曲线的变化，即求出一个二次曲线方程y=ax2+bx+c (这个算法的主要问题也就是如何用给定的数据求方程系数abc)