【算法】归并排序算法的编码和优化
参考资料
《算法（第4版）》 — — Robert Sedgewick， Kevin Wayne
归并排序的概念
归并排序的实现我是这样来描述的：先对少数几个元素通过两两合并的方式进行排序，形成一个长度稍大一些的有序序列。然后在此基础上，对两个长度稍大一些的有序序列再进行两两合并，形成一个长度更大的有序序列，有序序列的的长度不断增长，直到覆盖整个数组的大小为止，归并排序就完成了。
归并排序的两种实现方式：递归和循环
归并排序有两种实现方式： 基于递归的归并排序和基于循环的归并排序。（也叫自顶向下的归并排序和自底向上的归并排序）
这两种归并算法虽然实现方式不同，但还是有共同之处的：
1. 无论是基于递归还是循环的归并排序， 它们调用的核心方法都是相同的：完成一趟合并的算法，即两个已经有序的数组序列合并成一个更大的有序数组序列 （前提是两个原序列都是有序的！）
2. 从排序轨迹上看，合并序列的长度都是从小（一个元素）到大（整个数组）增长的
单趟归并算法
单趟排序的实现分析
下面我先介绍两种不同归并算法调用的公共方法， 即完成单趟归并的算法。（两个已经有序的数组序列合并成一个更大的有序数组序列）
在开始排序前创建有一个和原数组a长度相同的空的辅助数组aux
单趟归并的过程如下：
1. 首先将原数组中的待排序序列拷贝进辅助数组的相同位置中，即将a[low...high]拷贝进aux[low...high]中
2. 辅助数组aux的任务有两项：比较元素大小， 并在aux中逐个取得有序的元素放入原数组a中 （通过1使aux和a在low-high的位置是完全相同的！这是实现的基础）
3. 因为aux[low...high]由两段有序的序列：aux[low...mid]和aux[mid...high]组成， 这里称之为aux1和aux2,我们要做的就是从aux1和aux2的头部元素开始，比较双方元素的大小。将较小的元素放入原数组a中（若a[0]已被占则放在a[1]...依次类推），并取得较小元素的下一个元素， 和另一个序列中较大的元素比较。因为前提是aux1和aux2都是有序的，所以通过这种方法我们能得到更长的有序序列
4. 如果aux的两段序列中，其中一段中的所有元素都已"比较"完了, 取得另一段序列中剩下的元素，全部放入原数组a的剩余位置。
过程3和4的实现方法
- 设置两个游标 i 和 j 用于“元素比较” （在aux中进行）：变量,i 和 j，分别代表左游标和右游标，开始时分别指向aux[low]和aux[mid]
- 设置游标k用于确定在a中放置元素的位置（在a中进行），k在开始时候指向a[low]
- 总体上来说i, j, k的趋势都是向右移动的
过程3和4的图示解说
图A
结合上面的过程3， 比较 i 和 j 当前所指的aux中的元素的大小， 取得其中比较大的那个元素（例如上图中的i）,将其放入数组a中， 此时（在图中假设情况下）： i加1，左游标右移。 同时k也加1， k游标也向右移动
图B
结合上面的过程4， 在 i 和 j 都向右移动的过程中， 在图中假设情况下，因为j当前所指的元素（图中位置）大于左半边即a[low...mid]的所有元素，导致 i 不断增加（右移）且越过了边界（mid）, 所以这时候就不需要比较了，只要把j当前所指位置到high的元素都搬到原数组中，填满原数组中剩下的位置， 单趟归并就完成了， 在这一段过程中 j 连续加1，右游标连续右移。 同时k也连续加1， k游标也连续右移， 直到 j == high且k == high为止
基于上面的表述， 总结出单趟归并算法中最关键的4个条件判断情形：
- 左半边用尽（取右半边的元素）
- 右半边用尽（取左半边的元素）
- 右半边元素小于左半边当前元素（取右半边的元素）
- 右半边元素大于等于左半边当前元素（取左半边的元素）
单趟排序算法的代码
有了上面的解释，写这个算法就不难了吧
/** * @description: 完成一趟合并 * @param a 输入数组 * @param low,mid,high a[low...high] 是待排序序列， 其中a[low...mid]和 a[mid+1...high]已有序 */ private static void merge (int a [],int low,int mid,int high) { for(int k=low;k<=high;k++){ aux[k] = a[k]; // 将待排序序列a[low...high]拷贝到辅助数组的相同位置 } int i = low; // 游标i,开始时指向待排序序列中左半边的头元素 int j = mid+1; // 游标j,开始时指向待排序序列中右半边的头元素 for(int k=low;k<=high;k++){ if(i>mid){ a[k] = aux[j++]; // 左半边用尽 }else if(j>high){ a[k] = aux[i++]; // 右半边用尽 }else if(aux[j]<aux[i]){ a[k] = aux[j++]; // 右半边当前元素小于左半边当前元素， 取右半边元素 }else { a[k] = aux[i++]; // 右半边当前元素大于等于左半边当前元素，取左半边元素 } } } }
【注意】在排序之初创建了一个长度和原数组a相同的辅助数组aux，这部分代码上文未给出
单趟排序的过程图解
为了更详细的描述单趟排序的过程，下面在上面的图A和图B的基础上给出每一步的图解：
我们要排序的序列是 2 4 5 9 1 3 6 7， 合并的前提是2 4 5 9 和 1 3 6 7都是有序的
先比较aux中2和1的大小，因为2>1，所以将1放入a[0]。这时， 游标 i 不动， 游标 j 右移， 游标 k 右移
比较aux中2和3的大小，因为2<3，所以将2放入a[1]。这时， 游标 j 不动， 游标 i 右移， 游标 k 右移
比较aux中4和3的大小，因为3<4，所以将3放入a[2]。这时， 游标 i 不动， 游标 j 右移， 游标 k 右移
类似以上， 不解释
类似以上， 不解释
类似以上， 不解释
类似以上， 不解释
注意， 这这里 j 增加导致 j> high, 现在的情形是“右半边用尽”， 所以将aux左半边剩余的元素9放入a剩下的部分a[7]中， 单趟排序完成
【注意】 上面这个例子中的序列只是数组的一部分， 并不一定是整个数组
我在上面介绍过，两种不同归并算法： 基于递归的归并和基于循环的归并， 都是以单趟归并的算法为基础的。
下面先来讲一下基于递归的归并排序（自顶向下的归并排序）
基于递归的归并排序（自顶向下）
基于递归的归并排序又叫做自顶向下的归并排序
递归归并的思想
最关键的是sort(int a [], int low,int high)方法里面的三行代码：
sort(a,low,mid); sort(a,mid+1,high); merge(a,low,mid,high);
分别表示对左半边序列递归、对右半边序列递归、单趟合并操作。
全部代码：
/** * @Author: HuWan Peng * @Date Created in 9:44 2017/11/29 */ public class MergeSort { private static int aux []; /** * @description: 1. 初始化辅助数组aux，使其长度和原数组相同 * 2. 包装sort，向外只暴露一个数组参数 */ public static void sort(int a []){ aux = new int[a.length]; sort(a,0,a.length-1); } /** * @description: 基于递归的归并排序算法 */ private static void sort (int a [], int low,int high) { if(low>=high) { return; } // 终止递归的条件 int mid = low + (high - low)/2; // 取得序列中间的元素 sort(a,low,mid); // 对左半边递归 sort(a,mid+1,high); // 对右半边递归 merge(a,low,mid,high); // 单趟合并 } /** * @description: 单趟合并算法 * @param a 输入数组 * @param low,mid,high a[low...high] 是待排序序列,其中a[low...mid]和 a[mid+1...high]已有序 */ private static void merge (int a [],int low,int mid,int high) { int i = low; // 游标i,开始时指向待排序序列中左半边的头元素 int j = mid+1; // 游标j,开始时指向待排序序列中右半边的头元素 for(int k=low;k<=high;k++){ aux[k] = a[k]; // 将待排序序列a[low...high]拷贝到辅助数组的相同位置 } for(int k=low;k<=high;k++){ if(i>mid){ a[k] = aux[j++]; // 左半边用尽 }else if(j>high){ a[k] = aux[i++]; // 右半边用尽 }else if(aux[j]<aux[i]){ a[k] = aux[j++]; // 右半边当前元素小于左半边当前元素， 取右半边元素 }else { a[k] = aux[i++]; // 右半边当前元素大于等于左半边当前元素，取左半边元素 } } } }
测试代码：
public class Test { public static void main (String args[]){ int [] a = {1,6,3,2,9,7,8,1,5,0}; MergeSort.sort(a); for(int i=0;i<a.length;i++){ System.out.println(a[i]); } } }
输出结果
0 1 1 2 3 5 6 7 9
递归栈深度和调用顺序
递归导致的结果是，形成了一系列有层次、有先后调用顺序的merge, 如下图左边的写入编号的merge列表
从上到下，是各个merge的先后调用顺序，1最先调用， 15最后调用
从右到左， 递归栈由深到浅，例如 1,2,4,5的递归深度是相同的， 而3比它们浅一个层次
（这里是按照字母排序， A最小， Z最大）
对上图可根据代码来理解
sort(a,low,mid); // A sort(a,mid+1,high); // B merge(a,low,mid,high);// C
首先，在第一层递归的时候，先进入的是第一行的sort方法里（A处），然后紧接着又进入了第二层递归的第一行sort方法（A处）， 如此继续，由(a, low,mid)的参数列表可知其递归的趋势是一直向左移动的，直到最后一层递归，所以最先执行merge的对象是a[0]和a[1]（上图编号1），再然后执行的是最后一层递归的第二行代码（B处），这时候merge的对象是a[2]和a[3]（上图编号2）。 再然后， 返回上一层递归，对已经有序的a[0]、a[1]和a[2]、a[3]进行merge。（上图编号3）如此继续，递归的深度不断变浅， 直到对整个数组的左右两半进行merge。 （上图编号3）
递归归并的轨迹图像
（下面展示的归并进行了一些优化，对小数组使用插入排序）
根据上文所讲的递归栈和调用顺序， 下面的轨迹图像就不难理解了： 从最左边的元素开始合并，而且左边的数组序列在第一轮合并后，相邻右边的数组按同样的轨迹进行合并， 直到合并出和左边相同长度的序列后，才和左边合并（递归栈上升一层）
基于递归归并排序的优化方法
优化点一：对小规模子数组使用插入排序
用不同的方法处理小规模问题能改进大多数递归算法的性能，因为递归会使小规模问题中方法调用太过频繁，所以改进对它们的处理方法就能改进整个算法。 因为插入排序非常简单， 因此一般来说在小数组上比归并排序更快。 这种优化能使归并排序的运行时间缩短10%到15%；
怎么切换呢? 只要把作为停止递归条件的
if(low>=high) { return; }
改成
if(low + M>=high) { // 数组长度小于10的时候 InsertSort.sort(int a [], int low,int high) // 切换到插入排序 return; }
就可以了，这样的话，这条语句就具有了两个功能：
1. 在适当时候终止递归
2. 当数组长度小于M的时候（high-low <= M）， 不进行归并排序，而进行插排
具体代码：
private static void sort (int a [], int low,int high) { if(low + 10>=high) { // 数组长度小于10的时候 InsertSort.sort(int a [], int low,int high) // 切换到插入排序 return; } // 终止递归的条件 int mid = low + (high - low)/2; // 取得序列中间的元素 sort(a,low,mid); // 对左半边递归 sort(a,mid+1,high); // 对右半边递归 merge(a,low,mid,high); // 单趟合并 }
优化点二: 测试待排序序列中左右半边是否已有序
通过测试待排序序列中左右半边是否已经有序， 在有序的情况下避免合并方法的调用。
例如对单趟合并，我们对a[low...high]中的a[low...mid]和a[mid...high]进行合并
因为a[low...mid]和a[mid...high]本来就是有序的，存在a[low]<a[low+1]...<a[mid]和a[mid+1]<a[mid+2]...< a[high]这两种关系， 如果判断出a[mid]<=a[mid+1]的话， 不就可以保证从而a[low...high]本身就是不需要排序的有序序列了吗？
private static void sort (int a [], int low,int high) { if(low>=high) { return; } // 终止递归的条件 int mid = low + (high - low)/2; // 取得序列中间的元素 sort(a,low,mid); // 对左半边递归 sort(a,mid+1,high); // 对右半边递归 if(a[mid]<=a[mid+1]) return; // 避免不必要的归并 merge(a,low,mid,high); // 单趟合并 }
优化点三：去除原数组序列到辅助数组的拷贝
在上面介绍的基于递归的归并排序的代码中， 我们在每次调用merge方法时候，我们都把a对应的序列拷贝到辅助数组aux中来，即
for(int k=low;k<=high;k++){ aux[k] = a[k]; // 将待排序序列a[low...high]拷贝到辅助数组的相同位置 }
实际上，我们可以通过一种看起来比较逆天的方式把这个拷贝过程给去除掉。。。。。
为了达到这一点，我们要在递归调用的每个层次交换输入数组和输出数组的角色，从而不断地把输入数组排序到辅助数组，再将数据从辅助数组排序到输入数组。
卧槽？！ 还有这么骚的操作要怎么搞？ 请看：
public static void sort(int a []){ aux = a.clone(); // 拷贝一个和a所有元素相同的辅助数组 sort(a,aux,0,a.length-1); } /** * @description: 基于递归的归并排序算法 */ private static void sort (int a[], int aux[], int low,int high) { if(low>=high) { return; } // 终止递归的条件 int mid = low + (high - low)/2; // 取得序列中间的元素 sort(aux, a,low,mid); // 对左半边递归 sort(aux, a,mid+1,high); // 对右半边递归 merge(a, aux, low,mid,high); // 单趟合并 }
在这里我们做了两个操作：
- 在排序前拷贝一个和原数组元素完全一样的辅助数组（不再是创建一个空数组了！）
- 在递归调用的每个层次交换输入数组和输出数组的角色
注意， 外部的sort方法和内部sort方法接收的a和aux参数刚好是相反的
这样做的话， 我们就可以去除原数组序列到辅助数组的拷贝了！
但是你可能会问： 骚年， 我们要排序的可是原数组a啊！ 你不怕一不小心最后完全排序的是辅助数组aux而不是原数组a吗？
Don't worry !! 这种情况不会发生， 看图：
由图示易知， 因为外部sort和merge的参数顺序是相同的， 所以，无论递归过程中辅助数组和原数组的角色如何替换，对最后一次调用的merge而言（将整个数组左右半边合为有序的操作）， 最终被排为有序的都是原数组，而不是辅助数组！
全部代码：
/** * @Author: HuWan Peng * @Date Created in 9:44 2017/11/29 */ public class MergeSort { private static int aux []; /** * @description: 1. 初始化辅助数组aux，使其和原数组元素完全相同 * 2. 包装sort，向外只暴露一个数组参数 */ public static void sort(int a []){ aux = a.clone(); // 拷贝一个和a所有元素相同的辅助数组 sort(a,aux,0,a.length-1); } /** * @description: 基于递归的归并排序算法 */ private static void sort (int a[], int aux[], int low,int high) { if(low>=high) { return; } // 终止递归的条件 int mid = low + (high - low)/2; // 取得序列中间的元素 sort(aux, a,low,mid); // 对左半边递归 sort(aux, a,mid+1,high); // 对右半边递归 merge(a, aux, low,mid,high); // 单趟合并 } /** * @description: 单趟合并算法 * @param a 输入数组 * @param low,mid,high a[low...high] 是待排序序列,其中a[low...mid]和 a[mid+1...high]已有序 */ private static void merge (int a [],int aux [],int low,int mid,int high) { int i = low; // 游标i,开始时指向待排序序列中左半边的头元素 int j = mid+1; // 游标j,开始时指向待排序序列中右半边的头元素 // 这里的for循环拷贝已经去除掉了 for(int k=low;k<=high;k++){ if(i>mid){ a[k] = aux[j++]; // 左半边用尽 }else if(j>high){ a[k] = aux[i++]; // 右半边用尽 }else if(aux[j]<aux[i]){ a[k] = aux[j++]; // 右半边当前元素小于左半边当前元素， 取右半边元素 }else { a[k] = aux[i++]; // 右半边当前元素大于等于左半边当前元素，取左半边元素 } } } }
测试代码和输出结果同上文。
基于循环的归并排序（自底向上）
基于循环的归并排序又叫做自底向上的归并排序
循环归并的基本思想
基于循环的代码较为简单，这里就不多赘述了
/** * @Author: HuWan Peng * @Date Created in 23:42 2017/11/30 */ public class MergeSort2 { private static int aux []; public static void sort(int a []){ int N = a.length; aux = new int [N]; for (int size =1; size<N;size = size+size){ for(int low =0;low<N-size;low+=size+size) { merge(a,low,low+size-1,Math.min(low+size+size-1,N-1)); } } } private static void merge (int a [],int low,int mid,int high) { int i = low; // 游标i,开始时指向待排序序列中左半边的头元素 int j = mid+1; // 游标j,开始时指向待排序序列中右半边的头元素 for(int k=low;k<=high;k++){ aux[k] = a[k]; } for(int k=low;k<=high;k++){ if(i>mid){ a[k] = aux[j++]; // 左半边用尽 }else if(j>high){ a[k] = aux[i++]; // 右半边用尽 }else if(aux[j]<aux[i]){ a[k] = aux[j++]; // 右半边当前元素小于左半边当前元素， 取右半边元素 }else { a[k] = aux[i++]; // 右半边当前元素大于等于左半边当前元素，取左半边元素 } } } }
循环归并的轨迹图像
（下图中的sz同上面的变量size）
我叫彭湖湾，请叫我胖湾
