求解模线性方程
模和同余
定义：设a，b和m均为整数，且m>0。如果a和b被m除所得的余数相同，那么称a和b关于模m是同余的，记作aº b mod n.
同于有以下性质：
1．
若n|(a-b),则aºb mod n。
2．
若a mod nºb mod n，则aºb mod n。
3．
aºa mod n。
4．
若aºb mod n，则bºa mod n。
5．
若 aºb mod n，bºc mod n，则aºc mod n。
6．
若aºb mod c，cºd mod n，则a+cºb+d mod n.
一般的，定义zn为小于n的所有非负整数集合，即Zn=｛0,1，……，n-1｝，称Zn为模n的同余类集合。Zn中的加法和乘法都为模n运算，具有如下性质：
1.
交换率 (w+x)mod n º (x+w)mod n
(w*x)mod nº (x*w)mod n
2.
结合律 [(w+x)+y]mod
nº [w+(x+y)]mod n
[(w*x)*y]mod nº [w*(x*y)]mod n
3.
分配率 [w*(x+y)]mod
nº [(w*x)+(w*y)]mod
n
4.
单位元 (0+w)mod nºw mod n
(1*w)mod nºw mod n
5.
加法逆元: 对w属于Zn，存在x属于Zn，使得w+x=0 mod n，称x为w的加法逆元，记作x=-w。
6.
乘法逆元 : 设w属于Zn，如果存在x属于Zn，使得w*x=1modn，就说w是可逆的，称x为w的乘法逆元，记作x=w；
并不是每个元素都又乘法逆元，可以证明，w属于Zn是可逆的，当且仅当gcd（w，n）=1.如果w是可逆的，则可顶一除法。
费马小定理：设a，p为整数，且p为素数,p（p,a）=1,
那么：a^(p-1) º1(mod p).
例：当a分别为3与5时，求a^16被17除后所得的余数。
答案：均为1.
模线性方程
axºb(mod m)
其中a,b和m是已知的（m>0），要求解出满足上式的对模m的x值。满足同余方程的x可能有多个，也可能一个都没有，上述模线性方程也称为一次同余方程。
例如：57xº7（mod 11）有一个解x=9，而9xº7（mod 6）无解。
解：模线性方程axºb（mod ）的步骤如下：
（1）求 d=gcd（a,m）
（2）若d不是b的因数，则axºb(mod m)无解，结束；否则转（3）
（3）求x0,y0,是a*x0+m*y0=d;
（4）由于d是b的因数，将a*x0+m*y0=d改写，得a(x0*(b/d))+m*(y0*(b/d))=b,
于是ax+my=b的一个特解为
x=x0*(b/d),y=y0*(b/d);
（5）x0*(b/d)是axº（mod m）的一个特解，由此的axºb(mod m)的所有解
（共d个）为：x= (x0*(b/d)+
i*(m/d) ) (mod m), i=0,1,2,3,4.……d-1
定理1：
设d=gcd(a,n)，假定对整数x和y满足d=ax+by(比如用扩展Euclid算法求出的一组解)。如果d | b，则方程ax=b(modn)有一个解x0满足x0=x*(b/d) mod n 。特别的设e=x0+n，方程ax=b(mod n)的最小整数解x1=e mod(n/d)，最大整数解x2=x1+(d-1)*(n/d)。
定理2：
假设方程ax=b(mod n)有解，且x0是方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的解(d=gcd(a,n))，分别为：xi=x0+i*(n/d) mod
n 。
long long exgcd(long long a,
long long b, long long &x,long long &y)
{
if (b == 0)
{
x = 1, y = 0;
return a;
}
long long re = exgcd(b, a % b, x ,y);
long long tmp = x;
x = y;
y = tmp - a / b * y;
return re;
}
long long
modular_linear(long long a,long long b,long long n)
{
long long x,y;
long long d = exgcd(a,n,x,y);
if (b % d)
{
return -1;
}
long long re = x*(b/d) %n + n;
re = re%(n /d);
return re;
}
用扩展欧几里德解模线性方程ax=b mod n
bool
modularLinearEquation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=extend_gcd(a,n,x,y);
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n;
for(i=1;i<d;i++)
{
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
}
return true;
}
